감마함수

감마 함수는 다음과 같이 정의되는 함수이다.

$\Gamma (\alpha )=\int _{0}^{\infty }{t^{\alpha -1}e^{-t}}dt$ $(t>0)$

감마 함수의 성질

$\alpha \neq 0$ 일 때, 일반적으로 다음과 같은 성질을 지닌다.

(1) $\Gamma (\alpha +1)=\alpha \Gamma (\alpha )$

(2) $\Gamma (1-\alpha )\Gamma (\alpha )={\pi \over \sin(\pi \alpha )}$

감마 함수 증명

감마 함수 $f(x)=\int _{0}^{\infty }{t^{x-1}e^{-t}}dt$ $(t>0)$에서

$x=x'+1$을 대입하면,

$f(x'+1)=\int _{0}^{\infty }{t^{x'}e^{-t}}dt$이다.

이때, 우변 $\int _{0}^{\infty }{t^{x'}e^{-t}}dt$를 정리해보자.

$\int _{0}^{\infty }{t^{x'}e^{-t}}dt=\left[-t^{x'}e^{-t}\right]_{0}^{\infty }-\int _{0}^{\infty }{-x't^{x'-1}e^{-t}}dt$

$=\left[-t^{x'}e^{-t}\right]_{0}^{\infty }+x'\int _{0}^{\infty }{t^{x'-1}e^{-t}}dt$

$=x'\int _{0}^{\infty }{t^{x'-1}e^{-t}}dt$

따라서, 감마 함수 $f(x)$에 대하여

$f(x+1)=xf(x)$이 성립하므로

$f(x)=(x-1)!$ 이다.

결론

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위에 증명과정에 의해서 감마함수는 아래와 같이 정의가 된다.

$(x-1)!=\int _{0}^{\infty }{t^{x-1}e^{-t}}dt$