기하학 원론/1권

《기하학 원론》 1권에는 모두 49개의 정리가 있습니다.

정의

1권뿐만 아니라, 앞으로 우리가 배울 모든 내용은 다음 23가지 정의로부터 시작됩니다.

점은 크기를 가지지 않는 것이다.
선은 폭이 없이 길이만 있는 것이다.
선의 양 끝은 점이다.
직선은 점들이 쭉 곧게 있는 것이다.
면은 길이와 폭만 있는 것이다.
면의 끝은 선이다.
평면은 직선들이 쭉 곧게 있는 것이다.
평면에 있는 두 선이 서로 만나고 한 직선에 놓여 있지 않을 때, 두 선이 서로에게 기운 정도를 각이라고 한다.
두 선이 모두 직선일 때 특히 직선각이라고 한다.
직선에 다른 한 직선을 세웠을 때, 이웃한 두 각의 크기가 서로 같으면 그 각을 직각이라고 한다. 이 때, 두 직선은 수직이라고 한다.
둔각은 직각보다 큰 각이다.
예각은 직각보다 작은 각이다.
둘레는 어떤 것의 끝이다.
도형은 둘레들로 둘러싸인 것이다.
어떤 선으로 둘러싼 도형이 있을 때, 한 점에서 직선들을 그었을 때 도형에 놓이는 부분이 모두 서로 같다면 그 도형은 원이다.
그 한 점을 원의 중심이라고 한다.
원의 지름은 중심을 지나고 양쪽 다 원둘레에서 끝나는 직선이다. 지름은 원을 이등분한다.
지름과 지름이 자른 원둘레가 둘러싼 도형을 반원이라고 한다. 반원의 중심은 원의 중심과 같다.
직선다각형은 직선들로 둘러싼 도형이다. 삼각형은 직선 3개로 둘러싼 도형이다. 사각형은 직선 4개로 둘러싼 도형이다.
정삼각형은 세 변이 모두 같은 삼각형이다. 이등변삼각형은 두 변이 같은 삼각형이다. 부등변삼각형은 세 변이 모두 다른 삼각형이다.
직각삼각형은 직각을 가진 삼각형이다. 둔각삼각형은 둔각을 가진 삼각형이다. 예각삼각형은 세 각이 모두 예각인 삼각형이다.
직사각형은 네 각이 모두 직각인 사각형이다. 마름모는 네 변이 모두 같은 사각형이다. 정사각형은 직사각형이면서 마름모인 도형이다. 평행사변형은 마주보는 두 변 두 쌍이 서로 평행한 사각형이다. 이들 외의 사각형은 부등변 사각형이다.
평행선이란 같은 평면에 있는 직선들로서 양쪽으로 얼마나 늘려도 만나지 않는 직선들이다.

공준

위에서 말했던 정의들에서 앞으로 살펴볼 정리들을 유도하기 위해서는 다음 5가지를 사실로 인정해야 합니다.

모든 점에서 다른 모든 점으로 직선을 그을 수 있다.
유한한 직선을 계속 늘여나갈 수 있다.
모든 점에서 임의의 반지름으로 원을 그릴 수 있다.
모든 직각은 같다.
한 직선이 다른 두 직선과 만나면서 같은 쪽에 만드는 두 내각의 합이 2직각보다 작을 때, 그 두 직선을 무한히 연장하면 2직각보다 작은 그쪽에서 만난다.

다섯 번째 공준은 대개 "한 직선과 평행이고 그 직선 위에 있지 않은 한 점을 지나는 직선은 하나뿐이다"라는 꼴으로 소개되기도 합니다. 이것을 플레이페어 공준(Playfair's axiom)이라고 하며, 유클리드의 다섯 번째 공준과 플레이페어 공준은 동치입니다.

상식

따로 다음 5가지를 논란의 여지가 없도록 당연한 것으로 인정합니다.

어떤 것들이 어떤 것과 같다면 어떤 것들은 서로 같다.
같은 것에 같은 것을 더하면 같다.
같은 것에서 같은 것을 빼면 같다.
일치하는 것은 서로 같다.
전체는 부분보다 크다.