라플라스 변환

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$L(f(t))={\underset {0}{\overset {\infty }{\int }}}{f(t)}{e}^{-{st}}dt$로 주어지는 함수 $L(f(t))$를 $f(t)$의 라플라스 변환(Lapalce Transform)이라고 합니다.

기본적인 라플라스 변환

아래는 라플라스 변환과 관련된 문제에서 자주 등장하는 함수의 형태입니다. 이것을 숙지해두면 라플라스 변환의 응용에서 상당한 도움을 얻을 수 있습니다.
어떤 함수 $f(t)$ 의 라플라스 변환을 $F(s)$ 라고 하면,

• 초월함수(Exponential Function)

$f(t)=e^{at}\Longrightarrow F(s)={\frac {1}{s-a}}$

• 삼각함수(Trigonometric Function)

$f(t)=\cos at\Longrightarrow F(s)={\frac {s}{s^{2}+a^{2}}}$

$f(t)=\sin at\Longrightarrow F(s)={\frac {a}{s^{2}+a^{2}}}$

• 다항식(Polynomial)

$f(t)=t^{n}\Longrightarrow F(s)={\frac {n!}{s^{n+1}}}$

• 쌍곡선함수(Hyperbolic Function)

$f(t)=\cosh at\Longrightarrow F(s)={\frac {s}{s^{2}-a^{2}}}$

$f(t)=\sinh at\Longrightarrow F(s)={\frac {a}{s^{2}-a^{2}}}$

• 단위충격함수(Unit Impulse Function) 및 단위계단함수(Unit Step Function)

$f(t)=\delta (t-t_{0})\Longrightarrow F(s)=e^{-t_{0}s}$ (단, $t_{0}>=0$)

$f(t)=u(t-t_{0})\Longrightarrow F(s)={\frac {e^{-t_{0}s}}{s}}$ (단, $t_{0}>=0$)

라플라스 변환의 중요한 성질

도함수 및 적분에 대한 라플라스 변환

아래는 어떤 함수 $f(t)$의 도함수 및 적분의 라플라스 변환에 대한 공식입니다.

• 도함수의 라플라스 변환

$L(f'(t))=sF(s)-f(0)$

$L(f''(t))=s^{2}F(s)-sf(0)-f'(0)$

$L(f^{(n)}(t))=s^{n}F(s)-s^{n-1}f(0)-s^{n-2}f'(0)-$ . . . $-f^{n-1}(0)$

• 적분의 라플라스 변환

$L(\int _{0}^{t}f(\tau )d\tau )={\frac {F(s)}{s}}$

초월함수의 이동 성질(Shifting Property)

초월함수 $e^{at}$ 은 라플라스 변환 $F(s)$ 을 이동시키는 성질이 있습니다.

$L(e^{at}f(t))=F(s-a)$

다항함수의 미분 성질(Differentiating Property)

다항함수 $t^{n}\;(n=1,2,3,...)$ 은 라플라스 변환 $F(s)$ 을 $s$ 에 대해 미분하는 성질이 있습니다.

$L(tf(t))=-{\frac {d}{ds}}\;\;F(s)$

$L(t^{n}f(t))=(-1)^{n}{\frac {d^{n}}{ds^{n}}}\;\;F(s)$

콘볼루션에 대한 라플라스 변환

어떤 두 함수 $f(t)$ , $g(t)$의 콘볼루션(Convolution)은

$f(t)*g(t)=\int _{0}^{t}f(\tau )g(t-\tau )d\tau$

으로 정의됩니다. 이때 이 함수의 라플라스 변환은 아래와 같습니다.

$L(f(t)*g(t))=F(s)G(s)$

라플라스 변환의 추가적인 정리

충격함수 및 계단함수와 관련된 정리

• $L(f(t)u(t-t_{0}))=e^{-t_{0}s}L(f(t+t_{0})),t_{0}>=0$
• $L(f(t)\delta (t-t_{0}))=f(t_{0})e^{-t_{0}s},t_{0}>=0$

초깃값 및 최종값에 관한 정리

아래는 어떤 함수 $f(t)$의 초깃값과 최종값을 구하는 데 사용될 수 있는 정리입니다. 단, 두 식 모두 좌변값이 존재한다는 것을 전제로 합니다.

• 초깃값 정리 : $f(0^{+})=\lim _{s\to \infty }sF(s)$

• 최종값 정리 : $f(\infty )=\lim _{s\to 0^{+}}sF(s)$

라플라스 역변환

어떤 라플라스 변환 $F(s)$을 원래의 함수$f(t)$로 변환하는 것을 뜻하며, 기호로는 아래와 같이 나타냅니다.

$f(t)=L^{-1}(F(s))$

라플라스 변환의 응용

미분방정식의 풀이

라플라스 변환을 이용하면, 초깃값($t=0$에서의 값)이 주어진 미분방정식을 간단히 풀 수 있습니다.

예제 1 : 1계 미분방정식(1)

초깃값 문제 $x'+2x=e^{3t},\;x(0)=1$ 의 해를 라플라스 변환을 이용하여 구하여라.

[풀이] 양변에 라플라스 변환을 취하면

$[sX(s)-x(0)]+2X(s)={\frac {1}{s-3}}$

$[sX(s)-1]+2X(s)={\frac {1}{s-3}}$

식을 $X(s)$에 관해 정리하면

$X(s)={\frac {s-2}{(s+2)(s-3)}}$

이때 위 식의 우변을 아래와 같이 부분분수화할 수 있습니다.

${\frac {s-2}{(s+2)(s-3)}}={\frac {A}{s+2}}+{\frac {B}{s-3}}$ ($A,\;B$ : 상수)

양변에 $(s+2)(s-3)$을 곱하면

$s-2=A(s-3)+B(s+2)$

$s-2=(A+B)s+(-3A+2B)$

$\longrightarrow A+B=1,-3A+2B=-2$

$\therefore A={\frac {4}{5}},B={\frac {1}{5}}$

따라서 $X(s)$의 식은 아래와 같습니다.

$X(s)={\frac {4}{5}}\;{\frac {1}{s+2}}+{\frac {1}{5}}\;{\frac {1}{s-3}}$

이를 역변환하면 미분방정식의 해 $x(t)$ 을 얻을 수 있습니다.

$x(t)={\frac {4}{5}}\;e^{-2t}+{\frac {1}{5}}\;e^{3t}$

예제 2 : 1계 미분방정식(2)

초깃값 문제 $x''+x=\sin t,\;x(0)=1,\;x'(0)=0$ 의 해를 라플라스 변환을 이용하여 구하여라.

양변에 라플라스 변환을 취하면

$[s^{2}X(s)-sx(0)-x'(0)]+X(s)={\frac {1}{s^{2}+1}}$

식을 정리하면,

$X(s)={\frac {s}{s^{2}+1}}+{\frac {1}{(s^{2}+1)^{2}}}$

을 얻습니다. 이때 $L(\cos t)={\frac {s}{s^{2}+1}}$이고

${\frac {1}{(s^{2}+1)^{2}}}={\frac {1}{s^{2}+1}}\cdot {\frac {1}{s^{2}+1}}=L(\sin t)\cdot L(\sin t)=L(\sin t*\sin t)$

$\sin t*\sin t=\int _{0}^{t}\sin \tau \sin(t-\tau )d\tau =-{\frac {1}{2}}\int _{0}^{t}(\cos t-\cos(2\tau -t))d\tau =-{\frac {1}{2}}(t\cos t-{\frac {1}{2}}(\sin t-\sin(-t)))=-{\frac {1}{2}}(t\cos t-\sin t)$

이므로

$x(t)=\cos t-{\frac {1}{2}}t\cos t+{\frac {1}{2}}\sin t$

를 얻습니다.

예제 3 : 2계 미분방정식

다음의 초깃값 문제를 라플라스 변환을 이용하여 풀어라.

$x_{1}'-x_{1}+x_{2}=e^{t}$

$x_{2}'+x_{2}-x_{1}=e^{-t}$

$x_{1}(0)=0,x_{2}(0)=1$

선형 시스템의 모델링

라플라스 변환을 이용하면 여러 개의 선형 미분 방정식으로 이루어진 시스템을 단 하나의 미분방정식으로 통합할 수 있습니다.

예제 1 : 스프링-질량 시스템(Spring-Mass System)

질량이 각각 $m_{1},m_{2}$ 인 두 물체 및 용수철 상수가 각각 $k_{1},k_{2}$ 인 두 용수철로 구성된 시스템에서 질량 $m_{2}$ 의 물체에 힘 $f(t)$을 가했다. 두 물체의 위치를 각각 $x_{1}(t),x_{2}(t)$ 라 할 때, 두 물체의 운동방정식은 각각 다음과 같았다.

$m_{1}x_{1}''+(k_{1}+k_{2})x_{1}-k_{2}x_{2}=0$

$m_{2}x_{2}''+k_{2}x_{2}-k_{2}x_{1}=f(t)$

$f(t)$ 가 주어진 함수일 때, 위 두 방정식을 각각 (a) 오직 $x_{1}(t)$ 에 관한 미분방정식으로, (b) 오직 $x_{2}(t)$ 에 관한 미분방정식으로 통합하여라.

[풀이] $x_{1}(t)$ 에 관한, 또는 $x_{2}(t)$ 에 관한 미분방정식은, 모든 초기 조건을 $0$ 으로 둔 뒤 주어진 두 방정식에 각각 라플라스 변환을 취하고 연립하여 $X_{1}(s)$ 및 $X_{2}(s)$을 각각 $F(s)$ 에 관한 식으로 나타냄으로써 구할 수 있습니다. 우선, 초기 조건을 모두 $0$ 으로 두고 두 방정식에 라플라스 변환을 취하면

$m_{1}s^{2}X_{1}(s)+(k_{1}+k_{2})X_{1}(s)-k_{2}X_{2}(s)=0$

$m_{2}s^{2}X_{2}(s)+k_{2}X_{2}(s)-k_{2}X_{1}(s)=F(s)$

여기서 첫째 방정식을 $X_{2}(s)$에 대해 표현하면

$X_{2}(s)={\frac {m_{1}s^{2}+(k_{1}+k_{2})}{k_{2}}}\;\;X_{1}(s)$

이를 둘째 식에 대입하면

$m_{2}s^{2}{\frac {m_{1}s^{2}+(k_{1}+k_{2})}{k_{2}}}\;\;X_{1}(s)+k_{2}{\frac {m_{1}s^{2}+(k_{1}+k_{2})}{k_{2}}}\;\;X_{1}(s)-k_{2}X_{1}(s)=F(s)$

$X_{1}(s)$에 관해 정리하면

$X_{1}(s)={\frac {k_{2}F(s)}{m_{1}m_{2}s^{4}+(m_{1}k_{2}+m_{2}k_{1}+m_{2}k_{2})\;s^{2}+k_{1}k_{2}}}$

$\therefore m_{1}m_{2}s^{4}X_{1}(s)+(m_{1}k_{2}+m_{2}k_{1}+m_{2}k_{2})s^{2}X_{1}(s)+k_{1}k_{2}X_{1}(s)=k_{2}F(s)$

이때, 모든 초기 조건을 $0$ 으로 두었으므로, 양변을 라플라스 역변환하면 아래의 미분방정식을 얻게 됩니다.

$m_{1}m_{2}x_{1}''''+(m_{1}k_{2}+m_{2}k_{1}+m_{2}k_{2})x_{1}''+k_{1}k_{2}x_{1}=k_{2}f(t)$ ------------------------------------------------------ (a)의 정답

한편, 위에서 구한 $X_{1}(s)$의 식을 이용하여 $X_{2}(s)$의 식을 구하면

$X_{2}(s)={\frac {m_{1}s^{2}+(k_{1}+k_{2})}{k_{2}}}\;\;X_{1}(s)$

$={\frac {m_{1}s^{2}+(k_{1}+k_{2})}{k_{2}}}\;\;{\frac {k_{2}F(s)}{m_{1}m_{2}s^{4}+(m_{1}k_{2}+m_{2}k_{1}+m_{2}k_{2})\;s^{2}+k_{1}k_{2}}}$

$={\frac {[\;m_{1}s^{2}+(k_{1}+k_{2})\;]\;F(s)}{m_{1}m_{2}s^{4}+(m_{1}k_{2}+m_{2}k_{1}+m_{2}k_{2})\;s^{2}+k_{1}k_{2}}}$

$\therefore m_{1}m_{2}s^{4}X_{2}(s)+(m_{1}k_{2}+m_{2}k_{1}+m_{2}k_{2})s^{2}X_{2}(s)+k_{1}k_{2}X_{2}(s)=m_{1}s^{2}F(s)+(k_{1}+k_{2})F(s)$

여기서도 마찬가지로 위 결과를 라플라스 역변환하면 아래의 미분방정식을 얻게 됩니다.

$m_{1}m_{2}x_{2}''''+(m_{1}k_{2}+m_{2}k_{1}+m_{2}k_{2})x_{2}''+k_{1}k_{2}x_{2}=m_{1}f''(t)+(k_{1}+k_{2})f(t)$ ------------------------------------------------------------ (b)의 정답