어떤 라플라스 변환 을 원래의 함수 로 변환하는 것을 뜻하며, 기호로는 아래와 같이 나타냅니다.
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라플라스 변환을 이용하면, 초깃값( 에서의 값)이 주어진 미분방정식을 간단히 풀 수 있습니다.
초깃값 문제 의 해를 라플라스 변환을 이용하여 구하여라.
[풀이] 양변에 라플라스 변환을 취하면
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식을 에 관해 정리하면
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이때 위 식의 우변을 아래와 같이 부분분수화할 수 있습니다.
- ( : 상수)
양변에 을 곱하면
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따라서 의 식은 아래와 같습니다.
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이를 역변환하면 미분방정식의 해 을 얻을 수 있습니다.
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초깃값 문제 의 해를 라플라스 변환을 이용하여 구하여라.
양변에 라플라스 변환을 취하면
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식을 정리하면,
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을 얻습니다. 이때 이고
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이므로
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를 얻습니다.
다음의 초깃값 문제를 라플라스 변환을 이용하여 풀어라.
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라플라스 변환을 이용하면 여러 개의 선형 미분 방정식으로 이루어진 시스템을 단 하나의 미분방정식으로 통합할 수 있습니다.
예제 1 : 스프링-질량 시스템(Spring-Mass System)
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질량이 각각 인 두 물체 및 용수철 상수가 각각 인 두 용수철로 구성된 시스템에서 질량 의 물체에 힘 을 가했다. 두 물체의 위치를 각각 라 할 때, 두 물체의 운동방정식은 각각 다음과 같았다.
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가 주어진 함수일 때, 위 두 방정식을 각각 (a) 오직 에 관한 미분방정식으로, (b) 오직 에 관한 미분방정식으로 통합하여라.
[풀이] 에 관한, 또는 에 관한 미분방정식은, 모든 초기 조건을 으로 둔 뒤 주어진 두 방정식에 각각 라플라스 변환을 취하고 연립하여 및 을 각각 에 관한 식으로 나타냄으로써 구할 수 있습니다. 우선, 초기 조건을 모두 으로 두고 두 방정식에 라플라스 변환을 취하면
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여기서 첫째 방정식을 에 대해 표현하면
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이를 둘째 식에 대입하면
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에 관해 정리하면
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이때, 모든 초기 조건을 으로 두었으므로, 양변을 라플라스 역변환하면 아래의 미분방정식을 얻게 됩니다.
- ------------------------------------------------------ (a)의 정답
한편, 위에서 구한 의 식을 이용하여 의 식을 구하면
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여기서도 마찬가지로 위 결과를 라플라스 역변환하면 아래의 미분방정식을 얻게 됩니다.
- ------------------------------------------------------------ (b)의 정답