면체적 측량

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방법

• 면적측량
  • 직접법 : 현지에서 직접 거리, 각 측량하여 면적 계산
  • 간접법 : 도상, 기하학 공식을 이용해 면적 계산
• 체적측량
  • 단면법 : 단면간 토공량 계산 시
  • 점고법 : 넓은 지역 택지공사 시
  • 등고선법 : 건물 부지 정지 작업, 저수지 용량 산정 시

심프슨 법칙

심프슨 1법칙

♣♣♣

사다리꼴 넓이 + 포물선 넓이 공식으로부터 유도된다.

$\int _{a}^{b}f(x)\,dx\approx {\frac {h}{3}}{\bigg [}f(x_{0})+f(x_{n})+4\sum _{j=1}^{n/2}f(x_{\color {red}2j-1})+2\sum _{j=1}^{n/2-1}f(x_{\color {red}2j}){\bigg ]}$

이 식에서 $n$은 구간 $[a,b]$을 나눈 부분구간의 총 개수를 뜻하며 짝수여야 하고, $h=\textstyle {\frac {b-a}{n}}$은 각 부분구간의 길이이다. 면적측량 시 n이 홀수라면 남는 부분은 사다리꼴의 넓이로 계산하여 더해준다. 이 공식을 정리하면 다음과 같이 쓸 수도 있다.

$\int _{a}^{b}f(x)\,dx\approx {\frac {h}{3}}{\bigg [}f(x_{0})+4f(x_{1})+2f(x_{2})+4f(x_{3})+...+4f(x_{n-1})+f(x_{n}){\bigg ]}$

심프슨 2법칙

n이 3의 배수일 때 3개의 h씩 묶어 면적을 계산하여 다음 식으로 전체 면적을 구할 수도 있다. n이 3의 배수가 아니면, 2법칙을 적용하고 남는 구간은 심프슨 1법칙으로 계산해서 더한다.

${\frac {3}{8}}h[f(x_{0})+f(x_{n})+2\Sigma f(x_{\text{3의 배 수 }})+3\Sigma f(x_{\text{남 은 수 }})]$

좌표를 이용해 면적계산

꼭짓점의 좌표가 차례로 $(2,4),(3,-8),(1,2)$인 삼각형을 생각하자. 각 꼭짓점의 좌푯값을 $(2,4)$에서부터 시작해 차례대로 적고, 그 아래에 다시 $(2,4)$를 적어 행렬의 꼴로 나타내면 다음과 같다.

${\begin{bmatrix}2&4\\3&-8\\1&2\\2&4\end{bmatrix}}$

우선 왼쪽 위에서 오른쪽 바로 한 칸 아래로 직선을 그으면 아래와 같이 된다.

이때 선으로 연결된 두 숫자를 곱해서 모두 더하면, $2\times (-8)+3\times 2+1\times 4=-6$이다. 또, 오른쪽 위에서 왼쪽 바로 한 칸 아래로 직선을 그어 연결하면 아래와 같아진다.

마찬가지로 이어진 두 수를 곱해 모두 더한 값은 $4\times 3+(-8)\times 1+2\times 2=8$이다. 여기서 두 값의 차의 절댓값에 ${\frac {1}{2}}$을 곱하면 ${\frac {1}{2}}\left|-6-8\right|=7$이므로 이 삼각형의 넓이는 7이다.

단면법을 이용한 체적측량

양단면 면적차가 심할 때 산출된 토량의 대소관계 : 양단면 평균법(과대) > 각주공식(정확) > 중앙단면법(과소)

각주공식

심프슨 1법칙 이용한 것. 가장 정확.

${\begin{aligned}V_{0}&={\frac {1}{3}}{\frac {h}{2}}(A_{1}+4A_{m}+A_{2})\\&={\frac {h}{6}}(A_{1}+4A_{m}+A_{2})\\\end{aligned}}$

양단면 평균법

$V_{0}=h{\frac {A_{1}+A_{2}}{2}}$

중앙 단면법

$V_{0}=A_{m}\cdot h$

점고법에 의한 체적측량

사각주법

사각형 하나의 면적 A라 할 때

$V={\frac {A}{4}}\left(\sum h_{1}+2\sum h_{2}+3\sum h_{3}+4\sum h_{4}\right)$

삼각주법

$V={\frac {A}{3}}\left(\sum h_{1}+2\sum h_{2}+3\sum h_{3}+4\sum h_{4}+\cdots +8\sum h_{8}\right)$

표준고 = ${\frac {V}{nA}}$

등고선법에 의한 체적측량

등고선을 이용해 체적을 구할 수 있다. 등고선법은 각주공식, 추대공식, 양단면 평균법으로 나눈다.

각주공식

n은 짝수. 홀수일 경우는 짝수까지만 하고 남는 체적은 양단면 평균법으로 구해서 더함.

$V={\frac {h}{3}}(A_{0}+A_{n}+4\Sigma A_{\text{홀 수}}+2\Sigma A_{\text{짝 수}})$

추대공식

$V={\color {red}{\frac {h}{3}}}(A_{0}+A_{n}+{\color {red}2\sum _{i=1}^{n-1}A_{i}}+\sum _{i=1}^{\color {red}n}{\sqrt {A_{i-1}A_{i}}})$

양단면 평균법

${\begin{aligned}V&={\frac {h}{\color {red}2}}(A_{0}+A_{n}+2\sum _{i=1}^{\color {red}n-1}A_{i})\\&=h\left({\frac {A_{0}+A_{n}}{2}}+\sum _{i=1}^{n-1}A_{i}\right)\\\end{aligned}}$