미적분에 대한 쉬운 이해

미분은 변화의 척수이다

"어떤 현상에서든, 부분은 전체를 포함한다." 라는 생각에서 출발하였다.

미분의 개념

예를 들어, 어떤 함수의 그래프를 분석할 때 그래프의 일부분을 조사함으로써 전체에 대한 성질을 파악하는 것이 가능하다. 어떤 그래프가 전체의 1/3 만큼 그려졌다고 생각해보자. 이때 우리는 이 불완전한 그래프를 미분함으로써 그래프 전체의 경향성을 파악할 수 있고, 이 경향성을 바탕으로 그래프 나머지 부분을 대강이나마 완성할 수 있다. 즉, 미분은 '사물이 어떻게 변화하는지 계산하는 수학적 도구'인 것이다.

미적분은 수학의 "꽃" 이다

미분법의 탄생

곡선의 접선

미분법은 "접선의 기울기는 무엇인가?"라는 질문에서 시작하였다. 접선의 기울기를 구하는 방법에는 여러 가지가 있지만, 여기서는 뉴턴의 방법을 소개한다.

뉴턴의 아이디어(Newton's Idea)
어떤 궤적은 점이 시간에 따라 움직이면서 남긴 흔적으로 이해할 수 있다. 궤적 상에서 어떤 시각에서의 점을 하나 찍고, 매우 짧은 시간이 지난후에 점을 하나 더 찍은 뒤 두 점을 선으로 이으면 그 선의 기울기는 접선의 기울기가 될 것이다. 즉,

미분의 정의

$T_{1}(x,y)\longrightarrow T_{2}(x+v_{x}\Delta t,y+v_{y}\Delta t)$ ($\Delta t$ : 아주 작은 시간차, $v_{x}$ : $x$의 변화율, $v_{y}$ : $y$의 변화율)

$(1)v_{y}\Delta t/v_{x}\Delta t=v_{y}/v_{x}$

$(2)f(x+v_{x}\Delta t)=y+v_{y}\Delta t$

으로 $v_{y}/v_{x}$를 구할 수 있다. 하지만 접선의 기울기를 구하기 위해 이와 같은 미분을 반복하는 것은 수고로운 일이었다. 이후 뉴턴은 여러 식을 미분해본 결과 한 가지 규칙을 발견했는데, 다항함수의 미분은 원래의 함수(원시함수라고도 한다)의 차수에서 1을 뺀 뒤 원래의 차수를 계수에 곱함으로써 얻어진다는 것이었다. 뉴턴은 이 법칙을 공식화하였으며, 시간이 흘러 오늘날에는 미분함수를 정형화된 규칙에 의거해 계산하고 있다.

미분·적분의 의미와 기능

미분과 적분은 그래프의 특징을 나타내는 지표이다.

미분시 그래프 특징 강조

미분
미분은 어떤 그래프에서의 세세한 변동을 살펴보고자 할 때 이용된다.
미분은 짧은 파장을 더 짧게, 긴 파장을 더 길게 만들어 특징을 부각시킨다.

적분시 특징 강조

적분
적분은 어떤 현상이 미치는 효과를 계속 누적해가는 방법으로서, 그 현상의 장기적인 영향을 파악하는 데 사용될 수 있다.
과학자들은 그래프의 변동 가운데 느린 변동을 보고자 한때는 이 데이터를 적분한다.
적분은 파장이 짧은 파형은 작아지고, 파장이 긴 파형이 강조된다.

미분, 적분의 활용

(1) 미분의 기능과 그 과정

- 생활 속 현상관찰(1)

공을 던졌더니 운동에너지와 위치에너지의 합이 같다. 즉, 역학적 에너지가 보존된다.

- 수식화(1)

1/2mv^2 + mgh = k(상수) [공을 던졌더니 역학적 에너지가 보존되었다]

- 미분으로 엑기스 추출(1)

mvdv/dt + mgv = 0 [위 식을 시간(t)로 미분]

mdv/dt = -mg [정리]

- 생활 속 현상관찰(2)

공을 떨어뜨렸더니 속도의 가속도는 일정하다.

- 수식화(2)

 v = -gt + v(1)[가속도는 일정하다]

- 미분으로 엑기스 추출(2)

 dv/dt = -g   [위 식을 시간(t)로 미분]
 mdv/dt = -mg [정리]

두 가지 다른 현상을 관찰하고 수식으로 만들어 냈다. 그러나 미분을 해본결과 알게 된 과학적 사실은 일치한다. 이런 원리 또한 미분의 가정(부분은 전체를 포함한다)에 부합하는 것이다. 어느 부분을 관찰하고 미분하든 전체에 대한 성질은 같게 나오기 때문이다.

적분도 이와 같은 원리로 생각할 수 있다. 적분은 반대로 추가적인 정보를 제공한다. 이때, 추가되는 정보가 질량과 속도에 관한 것으로 국한시키기 위해 의 양변에 av를 곱한 다음 t에 대해 적분하면 mv^4/8 + mg^2h^2/2 = kas가 나온다. 적분을 할수록 더 고차원적인 개념에 대한 정보가 나오기에 이를 아직 해석할 순 없다. 즉, h를 적분했을 시 1/2h^2으로 표현하지 않고 h를 t에 대해 적분한 어떠한 t에 대한 3차식을 나타낼 수 있는 한 가지 문자로 표현했을 시에야 비로소 새로운 정보를 해독할 수 있게 되는 것이다.