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최소자승법 이하 방법들 소수점 왕창 쓰자. 그게 속편한 듯.
♣♣♣
n개 년의 인구 수 y의 표가 있다고 할 때, 기준년을 계열 중앙에 놓고 Y = aX + b를 구한다.
정규방정식(normal equation)
a
∑
x
2
+
b
∑
x
=
∑
x
y
{\displaystyle a\sum x^{2}+b\sum x=\sum xy}
a
∑
x
+
b
n
=
∑
y
{\displaystyle a\sum x+bn=\sum y}
구한 Y = aX + b의 X에 기준년으로부터 예측하고자 하는 년도까지의 년수를 넣으면 인구수 Y를 구할 수 있다.
예를 들어 1990년부터 1996년까지 기록된 인구 자료가 다음과 같다고 하자.
연도
인구(Y)
1990
177800
1991
182500
1992
187000
1993
192300
1994
194500
1995
199200
1996
203700
계산의 편의를 위해 연도를 다음과 같이 치환한다.
연도(X)
인구(Y)
-3
177800
-2
182500
-1
187000
0
192300
1
194500
2
199200
3
203700
정규방정식에 필요한 값들을 계산하면
∑
X
2
=
(
9
+
4
+
1
)
×
2
=
28
{\displaystyle \sum X^{2}=(9+4+1)\times 2=28}
∑
X
=
0
{\displaystyle \sum X=0}
∑
X
Y
=
118600
{\displaystyle \sum XY=118600}
∑
Y
=
1337000
{\displaystyle \sum Y=1337000}
정규방정식에 이 값들을 대입하면 a, b를 알 수 있다.
a
×
28
=
118600
{\displaystyle a\times 28=118600}
b
×
7
=
1337000
{\displaystyle b\times 7=1337000}
∴
Y
=
a
X
+
b
=
4235.714
X
+
191000
{\displaystyle {\begin{aligned}\therefore Y&=aX+b\\&=4235.714X+191000\\\end{aligned}}}
93년도가 0년으로 되었으므로 2000년은 X = 7을 대입하여 계산한다. 따라서 2000년의 인구 수는 220,650명으로 예측할 수 있다.
시간 최대급수량 또는 화재시 수량을 계획 기준수량으로 하여 결정되는 것은? 배수관망정수를 위한 약품, 전력 등 산정이나 유지관리비, 수도요금 산정 등 수도재정 계획의 기준이 되는 급수량은? 1일 평균 급수량
상수도 정수시설 규모 결정 시 사용되는 설계정수량은? 계획 1일 최대급수량 상수시설 계획 송수량도 계획 1일 최대급수량을 기준으로 정함 답 작성 시 /day 와 같이 단위 써줄 것. 이렇게 안 하고 m3 만 쓰니까 오답처리됨...
1인 1일 평균 급수량 X 30 X 1.25
1일 평균급수량 X 0.6
=
1년 간 총 급 수 량
365
=
(계 획 1일 최 대 급 수 량 )
×
{
0.70
(중 소 도 시 )
0.85
(
대 도 시 , 공 업 도 시
)
{\displaystyle {\begin{aligned}&={\frac {\text{1년 간 총 급 수 량}}{365}}\\&={\text{(계 획 1일 최 대 급 수 량 )}}\times {\begin{cases}0.70&{\text{(중 소 도 시 )}}\\0.85&({\text{대 도 시 , 공 업 도 시 }})\end{cases}}\\\end{aligned}}}
생활 수준이 높고 공업도시일수록 1인 1일 평균급수량이 증가한다. 수도 요금을 정액제로 할 때가 종량제로 할 때보다 1인 1일 평균급수량이 커진다. 수압이 높을수록 수량이 증가하기 때문에 평균 급수량 역시 증가한다.
상수도 시설(♣♣♣ 취수, 도수, 정수, 송수시설 ) 규모, 1일 계획 취수량 결정의 기준이 되는 급수량이다. 계획 1일 평균 급수량에 첨두율인 1.5나 1.3을 곱하여 구한다.
=
(
계 획 1인 1일 최 대 급 수 량
)
×
(
계 획 급 수 인 구
)
=
(
계 획 1일 평 균 급 수 량
)
×
{
1.5
(중 소 도 시 )
1.3
(대 도 시 , 공 업 도 시 )
{\displaystyle {\begin{aligned}&=({\text{계 획 1인 1일 최 대 급 수 량 }})\times ({\text{계 획 급 수 인 구 }})\\&=({\text{계 획 1일 평 균 급 수 량 }})\times {\begin{cases}1.5&{\text{(중 소 도 시 )}}\\1.3&{\text{(대 도 시 , 공 업 도 시 )}}\end{cases}}\\\end{aligned}}}
1일 중 사용 수량이 최대가 될 때의 1시간 당 급수량이다. 배수본관의 설계 시 이용된다.(평상 시 계획배수량)
=
계 획 1일 최 대 급 수 량
24
×
{
2.0
(농 촌 , 주 택 단 지 , 소 도 시 )
1.5
(중 소 도 시 )
1.3
(대 도 시 , 공 업 도 시 )
{\displaystyle ={\frac {\text{계 획 1일 최 대 급 수 량}}{24}}\times {\begin{cases}2.0&{\text{(농 촌 , 주 택 단 지 , 소 도 시 )}}\\1.5&{\text{(중 소 도 시 )}}\\1.3&{\text{(대 도 시 , 공 업 도 시 )}}\\\end{cases}}}
[ 1]
화재시 계획배수량
= 계획 1일 최대급수량의 1시간 당 수량 + 소화용수량
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♣♣♣ 유출량 누가곡선법(Ripple's method)
OA는 하천 유출량 누가곡선, OB는 계획 취수량 누가직선이다. L : 저수시점, C : 만수위, D : 저수위, G : 만수위 기록 자료를 토대로 하천 유출량 누가곡선(저수지로의 유입 누가수량) OA를 그린다.
계획 취수량 누가직선(월별 소요수량 누가직선, 저수지로부터의 유출 수량) OB를 그린다.
하천 유량 누가곡선에서 증가세가 감소하는 부분(CD, EF)가 있는데, 이 부분은 저수지로 유입되는 수량보다 유출되는 수량이 더 많아 수위가 감소하는 구간이다. 실제로는 이 구간들이 여러 개로 나타날 수 있다. 이 구간의 시작점인 C와 E점에서 계획 취수량 누가직선 OB에 평행한 직선 CG, EH를 긋는다.
직선 CG와 EH와, 하천 유출량 누가곡선 OA와의 차이가 최대가 되는 지점 DI와 FJ를 선정한다. 이때의 차이값을 부족수량 (유효 저수량)이라고 한다.
DI와 FJ 중 더 큰값이 소요 저수지 용량 이 된다.
단위 :
m
3
/
s
⋅
m
o
n
t
h
{\displaystyle m^{3}/s\cdot month}
m3 으로 바꿔주어야 함.
m
3
/
s
×
30
×
24
×
60
2
s
=
m
3
{\displaystyle m^{3}/s\times 30\times 24\times 60^{2}s=m^{3}}
실제 저수량은 20-30% 더 함.
그래프에서 DI가 소요 저수지 용량으로 채택되었다고 할 때, D점에서 계획 취수량 누가직선 OB에 평행한 직선을 그어 하천 유출량 누가 곡선과 만나는 점 K를 찾을 수 있고, K점에서 시간축에 수선을 내리면 저수를 시작하는 날(저수시점 ♣♣♣) L을 구할 수 있다. 예제 - 유효 저수량 계산
월
유입량
취수량
1
10
10
2
10
10
3
10
10
4
20
10
5
20
10
6
30
10
7
40
10
8
50
10
9
40
10
10
5
10
11
4
10
12
20
10
누가량 계산
월
유입량
취수량
누가 유입량
누가 유출량
1
10
10
10
10
2
10
10
20
20
3
10
10
30
30
4
20
10
50
40
5
20
10
70
50
6
30
10
100
60
7
40
10
140
70
8
50
10
190
80
9
40
10
230
90
10
5
10
235
100
11
4
10
239
110
12
20
10
259
120
그래프 그리기
9월에서 누가유출량 곡선과 평행하게 그으면 누가 유입량의 최저점인 11월엔 원래 230(9월 누가유입량) + 10 + 10 = 250이 되어야 한다.
그런데 11월 누가유입량은 239이다. 250 - 239 = 11만큼 부족하다. 유효저수량은
11
m
3
/
s
⋅
m
o
n
t
h
=
11
×
30
×
24
×
60
2
=
28
,
512
,
000
m
3
=
2851
만
t
{\displaystyle {\begin{aligned}11m^{3}/s\cdot month&=11\times 30\times 24\times 60^{2}\\&=28,512,000m^{3}\\&=2851{\text{만 }}\ t\end{aligned}}}
유입량, 취수량 그래프의 10, 11월 값의 차이를 통해 검산이 가능하다.
10월 : 10 - 5 = 5
11월 : 10 - 4 = 6
5
+
6
=
11
m
3
/
s
⋅
m
o
n
t
h
{\displaystyle 5+6=11m^{3}/s\cdot month}
Q = 50000t/day의 유량을 관 길이 1km, 관경 0.8m 수평관을 이용하여 펌프로 송수하려 한다. 시작점에서 압력이 58t/m2 이며, 마찰손실 외 다른 손실은 없고, 마찰손실계수가 0.035일 때 관로 끝에서의 압력을 구하시오.
Q
=
50000
t
/
d
a
y
=
50000
t
24
×
60
2
s
=
0.579
m
3
/
s
{\displaystyle {\begin{aligned}Q&=50000t/day={\frac {50000t}{24\times 60^{2}s}}\\&=0.579m^{3}/s\\\end{aligned}}}
A
=
π
4
D
2
=
π
4
×
0.8
2
m
2
=
0.503
m
2
{\displaystyle {\begin{aligned}A&={\frac {\pi }{4}}D^{2}={\frac {\pi }{4}}\times 0.8^{2}m^{2}\\&=0.503m^{2}\\\end{aligned}}}
V
=
Q
A
=
0.579
m
3
/
s
0.503
m
2
=
1.151
m
/
s
{\displaystyle V={\frac {Q}{A}}={\frac {0.579m^{3}/s}{0.503m^{2}}}=1.151m/s}
h
L
=
f
l
D
V
2
2
g
=
0.035
×
1000
0.8
×
1.15
2
2
×
9.81
=
2.952
m
{\displaystyle {\begin{aligned}h_{L}&=f{\frac {l}{D}}{\frac {V^{2}}{2g}}=0.035\times {\frac {1000}{0.8}}\times {\frac {1.15^{2}}{2\times 9.81}}\\&=2.952m\\\end{aligned}}}
z
1
+
p
1
γ
+
V
1
2
2
g
=
z
2
+
p
2
γ
+
V
2
2
2
g
+
h
L
{\displaystyle {\cancel {z_{1}}}+{\frac {p_{1}}{\gamma }}+{\cancel {\frac {{V_{1}}^{2}}{2g}}}={\cancel {z_{2}}}+{\frac {p_{2}}{\gamma }}+{\cancel {\frac {{V_{2}}^{2}}{2g}}}+h_{L}}
p
2
=
p
1
−
γ
h
L
=
58000
k
g
/
m
2
−
1000
k
g
/
m
3
×
2.952
m
=
55048
k
g
/
m
2
=
5.505
k
g
/
c
m
2
{\displaystyle {\begin{aligned}p_{2}&=p_{1}-\gamma h_{L}\\&=58000kg/m^{2}-1000kg/m^{3}\times 2.952m\\&=55048kg/m^{2}=5.505kg/cm^{2}\end{aligned}}}
♣♣♣ 아주 중요!! 소수점 왕창 전부다 쓰자. 안전빵으로. 안 그러면 절점에서 유입, 유출유량 합이 0 안 나오더라고...ㅠㅠㅠ
반드시 문제를 통해 연습할 것!!
관망 해석의 조건은 세 가지가 있다.
폐회로를 따라 한쪽 방향으로 측정한 손실 수두의 합은 0이어야 한다.
(
Σ
h
L
=
0
)
{\displaystyle (\Sigma h_{L}=0)}
L >0, 반대라면 hL <0으로 나타낸다.
한 절점에서 유입 유량과 유출 유량은 같아야 한다.(연속방정식)
각각의 관에 대해 수두손실과 유량은 적당한 함수 관계가 유지되어야 한다. 손실수두 hL 과 유량 Q의 관계는 Darcy-Weisbach 공식과 관수로의 평균 유속 경험식에 의해 일반적으로 다음과 같다.
h
L
=
f
l
d
V
2
2
g
=
f
l
d
1
2
g
(
4
Q
π
d
2
)
2
=
k
1
Q
2
{\displaystyle {\begin{aligned}h_{L}&=f{\frac {l}{d}}{\frac {V^{2}}{2g}}\\&=f{\frac {l}{d}}{\frac {1}{2g}}\left({\frac {4Q}{\pi d^{2}}}\right)^{2}\\&=k_{1}Q^{2}\end{aligned}}}
h
L
=
k
Q
n
{\displaystyle h_{L}=kQ^{n}}
k는 관의 제원에 의해 결정되는 값이고 n은 Darcy-Weisbach 공식과 Manning 공식 사용 시에는 n=2, Hazen-Williams 공식 적용시에는 n=1.85를 쓴다.
관망의 유량 계산은 하디 크로스법을 사용한다. 한개의 폐회로에 대해서 유량이 흐르는 경우 손실수두 합은 다음 식으로 나타낼 수 있다.
Δ
Q
=
−
Σ
k
Q
′
n
Σ
k
n
Q
′
n
−
1
{\displaystyle \Delta Q=-{\frac {\Sigma kQ'^{n}}{\Sigma knQ'^{n-1}}}}
여기서 Q'은 실제 유량 Q에 대한 가정 유량이다.
(
Q
=
Q
′
+
Δ
Q
)
{\displaystyle (Q=Q'+\Delta Q)}
'관망 해석의 조건' 2번을 만족하도록 각각의 관에 흐르는 유량 Q'을 가정한다.
n, k값을 결정한다. 각 관에 대하여, 가정 유량 Q'에 대한 손실수두 hL ' 즉,
k
Q
′
n
,
k
n
Q
′
n
−
1
{\displaystyle kQ'^{n},knQ'^{n-1}}
k
Q
′
n
{\displaystyle kQ'^{n}}
음수가 될 수 있다 !(흐름방향과 측정방향이 일치하면 양, 아니면 음)
k
n
Q
′
n
−
1
{\displaystyle knQ'^{n-1}}
무조건 양수 다!
각각의 폐회로에 대해
Σ
h
L
′
(
=
Σ
k
Q
′
n
)
,
Σ
k
n
Q
′
n
−
1
{\displaystyle \Sigma {h_{L}}'(=\Sigma kQ'^{n}),\Sigma knQ'^{n-1}}
3번의 결과를 이용하여
Δ
Q
{\displaystyle \Delta Q}
양수값. 스칼라양인 듯?
Δ
Q
{\displaystyle \Delta Q}
다시 2번 과정으로 돌아가서
Δ
Q
{\displaystyle \Delta Q}
↑ 이종형 외. 《상하수도 공학》 5판. 구미서관. 30쪽.
