14-1, 17-4
변위가 일어나지 않는 점(지점)에서는 ∂ U i ∂ P j = δ j {\displaystyle {\frac {\partial U_{i}}{\partial P_{j}}}=\delta _{j}} 식에서 δ j = 0 {\displaystyle \delta _{j}=0} (또는 고정 지점에서 θ j = 0 {\displaystyle \theta _{j}=0} )이 되므로 ∂ U i ∂ P j = 0 , ∂ U i ∂ M j = 0 {\displaystyle {\frac {\partial U_{i}}{\partial P_{j}}}=0,\quad {\frac {\partial U_{i}}{\partial M_{j}}}=0}
수직력에 의한 변형에너지
♣♣♣
전체 변형에너지 U = P ⋅ δ 2 {\displaystyle U={\frac {P\cdot \delta }{2}}}
δ = P l E A {\displaystyle \delta ={\frac {Pl}{EA}}} 이므로
U = ∫ 0 l P 2 2 E A d x = 1 2 E A ∫ 0 l P 2 d x = P 2 l 2 E A {\displaystyle U=\int _{0}^{l}{\frac {P^{2}}{2EA}}dx={\frac {1}{2EA}}\int _{0}^{l}P^{2}dx={\frac {P^{2}l}{2EA}}}
휨으로 인한 변형에너지
♣♣♣13-1, 14-1, 14-2, 14-3, 16-1, 16-2, 20-1+2
U = M ⋅ θ 2 = M 2 ⋅ M l E I = M 2 l 2 E I = ∫ 0 l M 2 2 E I d x = 1 2 E I ∫ 0 l M 2 d x {\displaystyle {\begin{aligned}U&={\frac {M\cdot \theta }{2}}={\frac {M}{2}}\cdot {\frac {Ml}{EI}}={\frac {M^{2}l}{2EI}}\\&=\int _{0}^{l}{\frac {M^{2}}{2EI}}dx={\frac {1}{2EI}}\int _{0}^{l}M^{2}dx\\\end{aligned}}}
13-1, 14-3, 17-2, 18-1, 19-2
U = 1 2 E I ∫ M 2 d x = 1 2 E I ∫ P 2 x 2 d x = P 2 L 3 6 E I {\displaystyle {\begin{aligned}U&={\frac {1}{2EI}}\int M^{2}dx\\&={\frac {1}{2EI}}\int P^{2}x^{2}dx\\&={\frac {P^{2}L^{3}}{6EI}}\end{aligned}}}
05-2, 11-1, 16-4
오른쪽 그림에서 휨에 의한 탄성에너지를 구하시오.
먼저 반력을 구하고, 모멘트도까지 그린다.
U = 1 2 E I ( ∫ 0 L ( P L ) 2 d x + ∫ 0 L ( − P L + P x ) 2 d x ) = 1 2 E I [ P 2 L 2 ⋅ L + ∫ 0 L ( P 2 L 2 + P 2 x 2 − 2 P 2 L x ) d x ] = 1 2 E I [ P 2 L 3 + P 2 L 3 + P 2 3 L 3 − P 2 L 3 ] = 1 2 E I × 4 3 P 2 L 3 = 2 P 2 L 3 3 E I {\displaystyle {\begin{aligned}U&={\frac {1}{2EI}}\left(\int _{0}^{L}(PL)^{2}dx+\int _{0}^{L}(-PL+Px)^{2}dx\right)\\&={\frac {1}{2EI}}\left[P^{2}L^{2}\cdot L+\int _{0}^{L}(P^{2}L^{2}+P^{2}x^{2}-2P^{2}Lx)dx\right]\\&={\frac {1}{2EI}}\left[P^{2}L^{3}+{\cancel {P^{2}L^{3}}}+{\frac {P^{2}}{3}}L^{3}-{\cancel {P^{2}L^{3}}}\right]\\&={\frac {1}{2EI}}\times {\frac {4}{3}}P^{2}L^{3}={\frac {2P^{2}L^{3}}{3EI}}\end{aligned}}}
이므로
![{\displaystyle {\begin{aligned}U&={\frac {1}{2EI}}\left(\int _{0}^{L}(PL)^{2}dx+\int _{0}^{L}(-PL+Px)^{2}dx\right)\\&={\frac {1}{2EI}}\left[P^{2}L^{2}\cdot L+\int _{0}^{L}(P^{2}L^{2}+P^{2}x^{2}-2P^{2}Lx)dx\right]\\&={\frac {1}{2EI}}\left[P^{2}L^{3}+{\cancel {P^{2}L^{3}}}+{\frac {P^{2}}{3}}L^{3}-{\cancel {P^{2}L^{3}}}\right]\\&={\frac {1}{2EI}}\times {\frac {4}{3}}P^{2}L^{3}={\frac {2P^{2}L^{3}}{3EI}}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f1781dbe8f17209254be9bad012bacf4b14aaa49)
