사용자:Gcd822/토목기사 오답노트/응용역학/재료의 역학적 성질

응력

조합응력

♣12-3

탄성계수비로 단면 환산해서 푸는 문제.

$n={\frac {E_{2}}{E_{1}}}$

2번 재료를 1번 재료 단면적으로 바꿔주면

$A_{1}+nA_{2}$

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97, 99, 17-4

1, 2의 단면적이 같다고 하면 1에 발생하는 힘 P₁?

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1) $\sigma =E\epsilon ={\frac {P}{A}}$

$\sigma _{1}=E_{1}\epsilon _{1},\ \sigma _{2}=E_{2}\epsilon _{2}$

$P=\sigma \cdot A=\sigma _{1}\cdot A_{1}+\sigma _{2}\cdot A_{2}=P_{1}+P_{2}$

2) 재료가 달라도 조합부재의 경우 변형은 같다.

$\epsilon _{1}=\epsilon _{2}$

${\frac {\sigma _{1}}{E_{1}}}={\frac {\sigma _{2}}{E_{2}}}$

$\sigma _{1}={\frac {E_{1}}{E_{2}}}\sigma _{2}$

$\sigma _{2}={\frac {E_{2}}{E_{1}}}\sigma _{1}$

3)

${\begin{aligned}P&=\sigma _{1}A_{1}+{\frac {E_{2}}{E_{1}}}\sigma _{1}A_{2}\\&=\sigma _{1}\left(A_{1}+{\frac {E_{2}}{E_{1}}}A_{2}\right)\\\end{aligned}}$

${\begin{aligned}\sigma _{1}&={\frac {P}{A_{1}+{\frac {E_{2}}{E_{1}}}A_{2}}}\\&={\frac {P}{A\left(1+{\frac {E_{2}}{E_{1}}}\right)}}\quad (\because A_{1}=A_{2})\\\end{aligned}}$

${\begin{aligned}P_{1}=\sigma _{1}A_{1}&={\frac {P}{1+{\frac {E_{2}}{E_{1}}}}}\\&={\frac {E_{1}}{E_{1}+E_{2}}}P\\\end{aligned}}$ 결론만 외우자.

위 과정이 복잡하거나 외우기 싫으면 이렇게 풀면 된다.

2번 재료를 1번 재료로 바꿔줄 때

$n={\frac {E_{2}}{E_{1}}}$

$\sigma _{1}={\frac {P}{A_{1}+nA_{2}}}$

${\begin{aligned}P_{1}&=\sigma _{1}A_{1}\\&={\frac {P}{A_{1}+nA_{2}}}\times A_{1}\\\end{aligned}}$

문제 조건에서 $A_{1}=A_{2}$이므로

$P_{1}={\frac {P}{1+n}}={\frac {P}{1+{\frac {E_{2}}{E_{1}}}}}$

2번 재료에 생기는 응력은

$\sigma _{2}=n\sigma _{1}$

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참고 자료

• 전찬기 외 (2015). 《토목기사 필기 과년도 - 응용역학》. 성안당. 

변형량

13-1, 16-2, 18-3

수직변위를 구하면?

${\begin{aligned}\delta &={\frac {PL}{EA}}+{\frac {PL}{2EA}}\\&={\frac {3PL}{2EA}}\\\end{aligned}}$

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15-2, 18-3

$R_{A}={\frac {2P}{3}}$

$R_{B}={\frac {P}{3}}$

만약에 두 부분의 단면적도 다르다면(19-1)

힘의 평형 조건

$R_{A}+R_{B}=P$

적합조건 : C점 변위 동일

${\frac {R_{B}l_{B}}{EA_{B}}}={\frac {R_{A}l_{A}}{EA_{A}}}$

$R_{A}$에 대해 정리한 뒤, 힘의 평형조건식에 대입하면

$R_{B}={\frac {l_{A}\cdot A_{B}}{l_{B}\cdot A_{A}+l_{A}\cdot A_{B}}}P$

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16-1 기출

BC부재 응력은 얼마나 생길까?

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총 변형은 0일테니까

${\frac {P_{A}\times 10cm}{E\times 10cm^{2}}}+{\frac {P_{B}\times 5cm}{E\times 5cm^{2}}}=0$

$\therefore P_{A}=-P_{B}$

$\sigma _{BC}={\frac {P}{A}}={\frac {5t}{5cm^{2}}}=1t/cm^{2}$

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만약 숫자로 하중과 길이 조건을 주고 EA가 일정할 때 얼마의 하중 P를 더 주어야 어떤 점의 변위가 어떤 값이 되느냐고 물을 때, 괜히 숫자랑 미지수 P 더해서 계산하면 헷갈리니까 숫자끼리 일단 계산하고, 미지수 P에 대해서 따로 계산한 뒤 더해주어 푼다.

체적 변화량

3축 응력 변형률

99

$\epsilon _{x}={\frac {1}{E}}(\sigma _{x}-\nu (\sigma _{y}+\sigma _{z}))$

$\epsilon _{y}={\frac {1}{E}}(\sigma _{y}-\nu (\sigma _{x}+\sigma _{z}))$

$\epsilon _{z}={\frac {1}{E}}(\sigma _{z}-\nu (\sigma _{x}+\sigma _{y}))$

체적 팽창률

♣♣♣

${\frac {\Delta V}{V}}=\epsilon _{x}+\epsilon _{y}+\epsilon _{z}={\frac {1-2\nu }{E}}(\sigma _{x}+\sigma _{y}+\sigma _{z})$

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1. 19-2

각 변 길이가 10cm인 정육면체에 직교방향 하중 7200kgf를 받고 있다. 이 물체의 푸아송 비가 0.1, 탄성계수가 2.79×10⁵ kgf/cm²일 때 이 물체의 체적 변화량은?

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풀이

위 식에 따르면 단면이 같으므로 $\sigma _{x}=\sigma _{y}=\sigma _{z}={\frac {P}{A}}$인데 두 방향으로 하중을 받으므로

${\begin{aligned}{\frac {\Delta V}{V}}&={\frac {1-2\nu }{E}}\cdot 2\cdot {\frac {P}{A}}\\&={\frac {1-2\times 0.1}{2.79\times 10^{5}kgf/cm^{2}}}\cdot 2\cdot {\frac {7200kgf}{100cm^{2}}}\\&=0.00413\end{aligned}}$

$\therefore \Delta V=0.00413V=0.413cm^{3}$ (감소함)

탄성계수

체적 탄성계수

13-2, 17-2, 18-2

$K={\frac {E}{3(1-2\nu )}}$

전단 탄성계수

00, 14-3, 17-2, 18-1

$\tau =G\gamma ={\frac {S}{A}}$

♣♣♣ 17-4, 18-3, 19-3

${\color {Red}G={\frac {E}{2(1+\nu )}}}$