편집
정도 ♣♣♣
d
−
D
D
=
1
12
(
D
r
)
2
{\displaystyle {\frac {d-D}{D}}={\frac {1}{12}}\left({\frac {D}{r}}\right)^{2}}
♣♣♣ 14-3 등등
오차 발생 원인이 확실하여 일정한 크기와 일정한 방향에 발생하는 오차로 측량 후 조정이 가능. 측정을 되풀이하면 이 오차는 쌓여서 커진다.
정오차
=
n
⋅
δ
{\displaystyle =n\cdot \delta }
n : 측정(관측 횟수)
δ : 1회 관측에 대한 누적오차 오차 발생 원인이 명확하지 않고 오차 제거가 어려우며, 최소제곱법으로 오차가 보정됨. 오차론에서 다루는 오차는 우연오차(87, 13-2)
♣♣♣13-1, 14-1, 15-3
±
δ
n
{\displaystyle \pm \delta {\sqrt {n}}}
92, 97, 98, 04 어떤 각을 12회 관측한 결과 ±0.5초의 평균제곱근 오차를 얻었다고 할 때 같은 정확도로 ±0.3초 평균 제곱근 오차를 얻으려면 몇 회 관측해야할까?
풀이 우연오차
±
δ
n
{\displaystyle \pm \delta {\sqrt {n}}}
0.5
12
=
0.3
n
{\displaystyle 0.5{\sqrt {12}}=0.3{\sqrt {n}}}
n=34
91, 93, 96, 97, 99, 02, 13-2, 19-3 80m를 20m 줄자로 측정하였고 1회 당 +5mm의 누적오차, ±5mm의 우연오차가 생길 때 정확한 거리는?
풀이 n=4. 누적오차 = nδ = 0.02m, 우연오차
=
±
δ
n
=
±
0.01
m
{\displaystyle =\pm \delta {\sqrt {n}}=\pm 0.01m}
정확한 거리 = 측정 거리 + 누적오차 ± 우연오차 = 80 + 0.02 ± 0.01 = 80.02 ± 0.01
식 유도는
−
L
2
−
h
2
{\displaystyle -{\sqrt {L^{2}-h^{2}}}}
♣♣♣
보정량
C
i
=
−
h
2
2
L
{\displaystyle C_{i}=-{\frac {h^{\color {red}2}}{2L}}}
정확한 거리
L
0
=
L
−
h
2
2
L
{\displaystyle L_{0}=L-{\frac {h^{2}}{2L}}}
86 사거리 50m에 대해 경사보정이 1cm가 되는 비고는?
풀이 경사 보정량 =
C
i
=
−
h
2
2
L
{\displaystyle C_{i}=-{\frac {h^{2}}{2L}}}
h
=
C
i
⋅
2
L
=
0.01
m
⋅
2
⋅
50
m
=
1.0
m
{\displaystyle h={\sqrt {C_{i}\cdot 2L}}={\sqrt {0.01m\cdot 2\cdot 50m}}=1.0m}
91 1/5000 정밀도 거리측량에서 사거리를 수평거리로 취급해도 되는 경사도 한계는?
풀이 정도 =
오 차
거 리
=
h
2
2
L
L
=
h
2
2
L
2
=
1
5000
{\displaystyle {\frac {\text{오 차 }}{\text{거 리 }}}={\frac {\frac {h^{2}}{2L}}{L}}={\frac {h^{2}}{2L^{2}}}={\frac {1}{5000}}}
sin
θ
=
h
L
{\displaystyle \sin \theta ={\frac {h}{L}}}
sin
2
θ
=
h
2
L
2
{\displaystyle \sin ^{2}\theta ={\frac {h^{2}}{L^{2}}}}
sin
2
θ
2
=
1
5000
{\displaystyle {\frac {\sin ^{2}\theta }{2}}={\frac {1}{5000}}}
θ
=
sin
−
1
2
5000
=
1
∘
8
′
45.57
″
{\displaystyle \theta =\sin ^{-1}{\sqrt {\frac {2}{5000}}}=1^{\circ }8'45.57''}
16-4
1/5000 정확도를 요구하는 50m 거리 측량에서 경사거리를 측정해도 허용되는 두 점간 최대 높이차는?
1
5000
=
h
2
2
L
L
=
h
2
2
×
50
m
50
m
{\displaystyle {\frac {1}{5000}}={\frac {\frac {h^{2}}{2L}}{L}}={\frac {\frac {h^{2}}{2\times 50m}}{50m}}}
h = 1m
90, 15-1, 16-1, 16-2 ♣♣♣
인장 보정까지 끝난 거리 L'은 평균해수면 으로부터 H만큼 높은 곳에 있는 지표면상의 거리이다. 따라서 기준면인 평균해수면상의 거리로 바꿔주어야 한다. 이를 표고보정량이라고도 하며, 항상 기준면상에서의 거리가 지표면상에서의 거리보다 작으므로 보정량 Ch (Correction for height)는 음수(-)이다. 닮음비와 이항 정리 를 이용하여 보정량을 구하면 다음과 같다.
C
h
=
−
L
′
H
R
{\displaystyle C_{h}=-{\frac {L'H}{R}}}
따라서 표고보정까지 마친 기준면상의 거리
L
0
=
L
′
+
C
h
{\displaystyle L_{0}=L'+C_{h}}
14-3, 15-3
관측값 x가 서로 독립일 때, 함수
y
=
f
(
x
1
,
x
2
,
x
3
,
⋯
,
x
n
)
{\displaystyle y=f(x_{1},x_{2},x_{3},\cdots ,x_{n})}
x
1
,
x
2
,
x
3
,
⋯
,
x
n
{\displaystyle x_{1},x_{2},x_{3},\cdots ,x_{n}}
σ
x
1
,
σ
x
2
,
σ
x
3
,
⋯
,
σ
x
n
{\displaystyle \sigma _{x_{1}},\sigma _{x_{2}},\sigma _{x_{3}},\cdots ,\sigma _{x_{n}}}
y 는
σ
y
2
=
(
∂
y
∂
x
1
)
2
σ
x
1
2
+
(
∂
y
∂
x
2
)
2
σ
x
2
2
+
(
∂
y
∂
x
3
)
2
σ
x
3
2
+
⋯
+
(
∂
y
∂
x
n
)
2
σ
x
n
2
{\displaystyle {\sigma _{y}}^{\color {red}2}=\left({\frac {\partial y}{\partial x_{1}}}\right)^{\color {red}2}{\sigma _{x_{1}}}^{\color {red}2}+\left({\frac {\partial y}{\partial x_{2}}}\right)^{\color {red}2}{\sigma _{x_{2}}}^{\color {red}2}+\left({\frac {\partial y}{\partial x_{3}}}\right)^{\color {red}2}{\sigma _{x_{3}}}^{\color {red}2}+\cdots +\left({\frac {\partial y}{\partial x_{n}}}\right)^{\color {red}2}{\sigma _{x_{n}}}^{\color {red}2}}
92, 01 n 구간을 측정할 때 1구간 당 3mm의 정오차와 ±3mm의 우연오차가 생긴다고 할 때 전 길이의 확률오차는?
풀이 전 길이에 대한 정오차 3n
전 길이에 대한 우연오차
±
3
n
{\displaystyle \pm 3{\sqrt {n}}}
오차 전파 법칙에 의해 확률오차는
(
3
n
)
2
+
(
3
n
)
2
=
9
n
2
+
9
n
=
3
n
2
+
n
{\displaystyle {\sqrt {(3n)^{2}+(3{\sqrt {n}})^{2}}}={\sqrt {9n^{2}+9n}}=3{\sqrt {n^{2}+n}}}
97, 03, 04, 16-2 장방형 토지를 측정하여 37.8m, 28.9m가 나왔다. 측정한 기구의 오차가 30m에 대해 45mm라고 한다. 발생한 면적의 최대 오차는?
풀이
종 방 향 오 차
=
δ
L
l
=
0.045
m
×
37.8
m
30
m
=
0.057
m
{\displaystyle {\begin{aligned}{\text{종 방 향 오 차 }}=\delta {\frac {L}{l}}&=0.045m\times {\frac {37.8m}{30m}}\\&=0.057m\\\end{aligned}}}
횡 방 향 오 차
=
δ
L
l
=
×
0.045
m
28.9
m
30
m
=
0.043
m
{\displaystyle {\begin{aligned}{\text{횡 방 향 오 차 }}=\delta {\frac {L}{l}}&=\times 0.045m{\frac {28.9m}{30m}}\\&=0.043m\\\end{aligned}}}
면 적 최 대 오 차
=
37.8
×
28.9
m
2
−
(
37.8
−
0.057
)
×
(
28.9
−
0.043
)
m
2
=
3.28
m
2
{\displaystyle {\begin{aligned}{\text{면 적 최 대 오 차 }}&=37.8\times 28.9m^{2}-(37.8-0.057)\times (28.9-0.043)m^{2}\\&=3.28m^{2}\\\end{aligned}}}
이렇게 해도 되고 그림 그려서 풀어도 됨. 이해하는 게 좀더 편한 것 같다.
14-3
축척 1:1500 지도상 면적을 잘못하여 1:1000으로 측정했더니 10000m2 이 나왔다면 실제면적은?
오답
도상 10000m2 인 줄 알았다. 여기다 X 10002 하고 15002 으로 나눔. 4444m2 은 오답!
정답
도상 면적이 10000m2 일 리가 없다! 지도 면적이 10000m2 이라고? 말도 안 되지!
1:1000으로 잘못 보고 실제 면적을 구한 게 10000m2 이니까 다시 원래 지도 상으로 줄여놓고 다시 늘려야 된다.
10000
m
2
1000
2
=
0.01
m
2
{\displaystyle {\frac {10000m^{2}}{1000^{2}}}=0.01m^{2}}
0.01
m
2
×
1500
2
=
22500
m
2
{\displaystyle 0.01m^{2}\times 1500^{2}=22500m^{2}}
