수치해석/테일러 급수

1번

$f(x)=x^{2}e^{x}$의 매클로린 급수는?

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$f(x)=\sum _{k=0}^{n}{\frac {f^{(k)}(0)}{k!}}x^{k}+{\frac {f^{(n+1)}(\xi )}{(n+1)!}}x^{n+1}$

$f(x)=x^{2}e^{x}$

$f'(x)=(2x+x^{2})e^{x}$

$f''(x)=(2+4x+x^{2})e^{x}$

$f^{(3)}(x)=(6+6x+x^{2})e^{x}$

$f^{(4)}(x)=(12+8x+x^{2})e^{x}$

…

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$f(0)=0$

$f'(0)=0$

$f''(0)=2$

$f^{(3)}(0)=6$

$f^{(4)}(0)=12$

…

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$f^{(n+1)}(\xi )=(f^{(n+1)}(0)+f^{(n)}(0)\xi +\xi ^{2})e^{\xi }$

$a_{k}=2+b_{i}$

$b_{i}=4+2i$

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$b_{0}=4+2\times 0$

b₁ = 4 + 2 × 1

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a₁ = a₀ + (4 + 2 × 0)

a₂ = a₀ + (4 + 2 × 0) + (4 + 2 × 1)

…

${\begin{matrix}a_{k}&=&2+\left(4\times k+2\times {\frac {k(k-1)}{2}}\right)\\&=&2+3k+k^{2}\end{matrix}}$

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$f^{(k)}(0)=a_{k}=2+3k+k^{2}$

$f^{(n+1)}(0)=a_{n+1}=2+3(n+1)+(n+1)^{2}=n^{2}+5n+6$

$f^{(n)}(0)=a_{n}=2+3n+n^{2}$

3번

$f(x)=2x+{\frac {3}{x}}$에 대해 [1, 3]에서 평균값 정리를 만족하는 모든 실수 c를 구하시오.

5번

[0, 1]에서 f(x) = 2e^2x + 4x - 3이 최소 한개의 근을 가짐을 증명하시오.

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f(x)는 [0, 1]에서 연속이다.

f(0) = - 1, f(1) = 2e² + 1이므로 중간값 정리에 의해 f(c) = 0인 c가 (0, 1) 사이에 최소 한 개 존재한다.

7번

x₀ = 0 에서 f(x) = ln (1 - x)의 테일러급수는?

15번

[1/2, 1]구간에 속하는 x에 대해 x₀ = 3/4에서 $f(x)={\frac {1}{x}}$에 대한 테일러 다항식의 오차가 10^-2 또는 10^-4보다 작아지기 위해서 얼마나 많은 항이 필요한지 각각 경우에 대해 항의 수를 구하시오.