에르미트 항등식 예제

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에르미트 항등식에 관한 몇 가지 예제를 해결해 봅시다.

 예제 1 편집

실수  에 대하여 다음 식이 성립할 때,  의 값을 구하시오. (단,   를 넘지 않는 최대의 정수이다.)

 

예제 2 편집

 에 대한 방정식

 의 실근의 개수를  이라 할 때,

 의 값을 구하시오. (단,   를 넘지 않는 최대의 정수이다.)

예제 풀이 편집

예제 풀이에 앞서 위와 같은 예제를 풀기 위해서는 에르미트 항등식에 대하여 알아야 한다.

그렇다면, 에르미트 항등식에 대하여 간단히 알아보도록 하자.

에르미트 항등식 편집

정의 편집

임의의 실수  와 양의 정수  에 대하여 항상 성립하는 항등식으로, 이는 다음과 같다.

 

(단,  는 가우스 기호이다. 이는  를 넘지 않는 최대의 정수이다.)

예제 1 편집

 

위 식의 좌변은  개의 항으로 이루어져 있다.

좌변 첫 번째 항부터   번째 항까지는  의 값을,

( + ) 번째 항부터 73번 째 항까지는  의 값을 가진다고 가정하면,

 이 성립하므로,  임을 찾을 수 있다.

그러므로,  ,

 이다.

따라서,  이다.

예제 2 편집

 

위 식을 에르미트 항등식에 의하여 정리해보면 다음과 같다.

 

여기서,  라고 하자. (단,  은 정수,  이다.)

준 식의 양변에  를 대입하여 정리해보면,

 이 성립한다. ( 는 정수)
   일 때,

  이를  에 대하여 정리하면,

 이다. 이때,  이므로,

 이고, 이를  에 대하여 정리하면,

 이고, 이를 만족시키는  의 개수는  개 이므로,

   
   일 때,

 

i)  일 때,  이므로,

 이고, 이를  에 대하여 정리하면,

 이고, 이를 만족시키는  의 개수는 18개 이다.

ii)  일 때,  이므로,

 이고, 이를  에 대하여 정리하면,

 이고, 이를 만족시키는  의 개수는 12개 이다.

   
   일 때,

 

i)  일 때,  이므로,

 이고, 이를  에 대하여 정리하면,

 이고, 이를 만족시키는  의 개수는 7개 이다.

ii)  일 때,  이므로,

 이고, 이를  에 대하여 정리하면,

  이고, 이를 만족시키는  의 개수는 5개 이다.

iii)  일 때,  이므로,

 이고, 이를  에 대하여 정리하면,

 이고, 이를 만족시키는  의 개수는 4개 이다.

   

따라서,