이 글은 위상합의 보편 성질보다 살짝 더 강한 결과를 소개한다. 이는 교재[ 1] :68, Exercise 3.2.5 의 연습 문제이다.
두 위상 공간
X
1
{\displaystyle X_{1}}
X
2
{\displaystyle X_{2}}
위상합
X
{\displaystyle X}
연속 함수
i
1
:
X
1
→
X
{\displaystyle i_{1}\colon X_{1}\to X}
i
2
:
X
2
→
X
{\displaystyle i_{2}\colon X_{2}\to X}
튜플 이다.
임의의 위상 공간
Y
{\displaystyle Y}
연속 함수
f
1
:
X
1
→
Y
{\displaystyle f_{1}\colon X_{1}\to Y}
f
2
:
X
2
→
Y
{\displaystyle f_{2}\colon X_{2}\to Y}
f
i
1
=
f
1
{\displaystyle fi_{1}=f_{1}}
f
i
2
=
f
2
{\displaystyle fi_{2}=f_{2}}
f
:
X
→
Y
{\displaystyle f\colon X\to Y}
X
←
i
2
X
2
i
1
↑
↘
f
↓
f
2
X
1
→
f
1
Y
{\displaystyle {\begin{matrix}X&\xleftarrow {i_{2}} &X_{2}\\{\scriptstyle i_{1}}\uparrow &\searrow {\scriptstyle f}&\downarrow {\scriptstyle f_{2}}\\X_{1}&{\xrightarrow[{f_{1}}]{}}&Y\end{matrix}}}
두 위상 공간의 위상합은 위상동형 아래 유일하게 존재한다. 따라서 위상합을 간단히
X
1
⊔
X
2
{\displaystyle X_{1}\sqcup X_{2}}
i
1
{\displaystyle i_{1}}
i
2
{\displaystyle i_{2}}
매장 이므로,
i
1
(
X
1
)
{\displaystyle i_{1}(X_{1})}
i
2
(
X
2
)
{\displaystyle i_{2}(X_{2})}
X
1
{\displaystyle X_{1}}
X
2
{\displaystyle X_{2}}
X
1
⊔
X
2
{\displaystyle X_{1}\sqcup X_{2}}
분리합집합 이며,
U
⊂
X
1
⊔
X
2
{\displaystyle U\subset X_{1}\sqcup X_{2}}
U
∩
X
1
{\displaystyle U\cap X_{1}}
X
1
{\displaystyle X_{1}}
U
∩
X
2
{\displaystyle U\cap X_{2}}
X
2
{\displaystyle X_{2}}
위상 공간이 두 부분 공간의 위상합일 조건은 다음과 같이 기술할 수 있다.
정리 1.
X
{\displaystyle X}
위상 공간 이며,
X
1
,
X
2
⊂
X
{\displaystyle X_{1},X_{2}\subset X}
i
1
:
X
1
→
X
1
⊔
X
2
{\displaystyle i_{1}\colon X_{1}\to X_{1}\sqcup X_{2}}
i
2
:
X
2
→
X
1
⊔
X
2
{\displaystyle i_{2}\colon X_{2}\to X_{1}\sqcup X_{2}}
j
1
:
X
1
→
X
{\displaystyle j_{1}\colon X_{1}\to X}
j
2
:
X
2
→
X
{\displaystyle j_{2}\colon X_{2}\to X}
동치 이다.
㈀
X
=
X
1
⊔
X
2
{\displaystyle X=X_{1}\sqcup X_{2}}
f
i
1
=
j
1
{\displaystyle fi_{1}=j_{1}}
f
i
2
=
j
2
{\displaystyle fi_{2}=j_{2}}
f
:
X
1
⊔
X
2
→
X
{\displaystyle f\colon X_{1}\sqcup X_{2}\to X}
위상동형사상 이다.
㈁
X
=
X
1
∪
X
2
{\displaystyle X=X_{1}\cup X_{2}}
X
1
∩
X
2
=
∅
{\displaystyle X_{1}\cap X_{2}=\varnothing }
X
1
{\displaystyle X_{1}}
X
2
{\displaystyle X_{2}}
X
{\displaystyle X}
열린집합 이다. 증명. ㈀ ⇒ ㈁.
X
1
{\displaystyle X_{1}}
X
1
{\displaystyle X_{1}}
∅
{\displaystyle \varnothing }
X
2
{\displaystyle X_{2}}
X
1
{\displaystyle X_{1}}
X
1
⊔
X
2
{\displaystyle X_{1}\sqcup X_{2}}
X
2
{\displaystyle X_{2}}
U
1
{\displaystyle U_{1}}
X
1
{\displaystyle X_{1}}
U
2
{\displaystyle U_{2}}
X
2
{\displaystyle X_{2}}
X
1
{\displaystyle X_{1}}
X
2
{\displaystyle X_{2}}
X
{\displaystyle X}
U
1
{\displaystyle U_{1}}
U
2
{\displaystyle U_{2}}
X
{\displaystyle X}
U
1
∪
U
2
{\displaystyle U_{1}\cup U_{2}}
X
{\displaystyle X}
두 위상 공간
X
1
{\displaystyle X_{1}}
X
2
{\displaystyle X_{2}}
위상합
X
1
⊔
X
2
{\displaystyle X_{1}\sqcup X_{2}}
Y
{\displaystyle Y}
f
:
X
1
⊔
X
2
→
Y
{\displaystyle f\colon X_{1}\sqcup X_{2}\to Y}
f
↾
X
1
:
X
1
→
Y
{\displaystyle f\upharpoonright X_{1}\colon X_{1}\to Y}
f
↾
X
2
:
X
2
→
Y
{\displaystyle f\upharpoonright X_{2}\colon X_{2}\to Y}
연속 함수 라면,
f
{\displaystyle f}
정리 2.
X
{\displaystyle X}
위상 공간 이며,
X
1
,
X
2
⊂
X
{\displaystyle X_{1},X_{2}\subset X}
X
=
X
1
∪
X
2
{\displaystyle X=X_{1}\cup X_{2}}
X
∖
(
X
1
∩
X
2
)
=
X
1
∖
X
2
⊔
X
2
∖
X
1
{\displaystyle X\setminus (X_{1}\cap X_{2})=X_{1}\setminus X_{2}\sqcup X_{2}\setminus X_{1}}
Y
{\displaystyle Y}
f
:
X
→
Y
{\displaystyle f\colon X\to Y}
f
↾
X
1
{\displaystyle f\upharpoonright X_{1}}
f
↾
X
2
{\displaystyle f\upharpoonright X_{2}}
연속 함수 라면,
f
{\displaystyle f}
보조정리 1.
X
{\displaystyle X}
Y
{\displaystyle Y}
위상 공간 이며,
x
∈
X
{\displaystyle x\in X}
f
:
X
→
Y
{\displaystyle f\colon X\to Y}
A
∈
N
(
x
)
{\displaystyle A\in {\mathcal {N}}(x)}
x
{\displaystyle x}
근방 이라고 하자. 만약
f
↾
A
{\displaystyle f\upharpoonright A}
x
{\displaystyle x}
f
{\displaystyle f}
x
{\displaystyle x}
증명. 임의의 근방
U
∈
N
(
f
(
x
)
)
{\displaystyle U\in {\mathcal {N}}(f(x))}
f
−
1
(
U
)
∩
A
{\displaystyle f^{-1}(U)\cap A}
x
{\displaystyle x}
A
{\displaystyle A}
f
−
1
(
U
)
∩
A
=
N
∩
A
{\displaystyle f^{-1}(U)\cap A=N\cap A}
N
∈
N
(
x
)
{\displaystyle N\in {\mathcal {N}}(x)}
A
∈
N
(
x
)
{\displaystyle A\in {\mathcal {N}}(x)}
f
−
1
(
U
)
∩
A
∈
N
(
x
)
{\displaystyle f^{-1}(U)\cap A\in {\mathcal {N}}(x)}
f
−
1
(
U
)
∈
N
(
x
)
{\displaystyle f^{-1}(U)\in {\mathcal {N}}(x)}
정리 2의 증명. 임의의
x
∈
X
{\displaystyle x\in X}
f
{\displaystyle f}
x
{\displaystyle x}
x
∈
int
X
1
{\displaystyle x\in \operatorname {int} X_{1}}
x
∈
int
X
2
{\displaystyle x\in \operatorname {int} X_{2}}
f
{\displaystyle f}
x
{\displaystyle x}
x
∉
int
X
1
{\displaystyle x\not \in \operatorname {int} X_{1}}
x
∉
int
X
2
{\displaystyle x\not \in \operatorname {int} X_{2}}
x
∈
X
1
∩
X
2
{\displaystyle x\in X_{1}\cap X_{2}}
x
∉
X
1
∩
X
2
{\displaystyle x\not \in X_{1}\cap X_{2}}
x
∈
X
1
∖
X
2
{\displaystyle x\in X_{1}\setminus X_{2}}
X
1
∖
X
2
{\displaystyle X_{1}\setminus X_{2}}
X
∖
(
X
1
∩
X
2
)
{\displaystyle X\setminus (X_{1}\cap X_{2})}
X
1
∖
X
2
=
V
∖
(
X
1
∩
X
2
)
{\displaystyle X_{1}\setminus X_{2}=V\setminus (X_{1}\cap X_{2})}
V
⊂
X
{\displaystyle V\subset X}
x
∈
V
⊂
X
1
{\displaystyle x\in V\subset X_{1}}
x
∉
int
X
1
{\displaystyle x\not \in \operatorname {int} X_{1}}
이제 임의의 근방
U
∈
N
(
f
(
x
)
)
{\displaystyle U\in {\mathcal {N}}(f(x))}
f
↾
X
1
{\displaystyle f\upharpoonright X_{1}}
f
↾
X
2
{\displaystyle f\upharpoonright X_{2}}
x
{\displaystyle x}
f
(
M
∩
X
1
)
⊂
U
{\displaystyle f(M\cap X_{1})\subset U}
f
(
N
∩
X
2
)
⊂
U
{\displaystyle f(N\cap X_{2})\subset U}
M
,
N
∈
N
(
x
)
{\displaystyle M,N\in {\mathcal {N}}(x)}
M
∩
N
∈
N
(
x
)
{\displaystyle M\cap N\in {\mathcal {N}}(x)}
f
(
M
∩
N
)
⊂
U
{\displaystyle f(M\cap N)\subset U}
f
{\displaystyle f}
x
{\displaystyle x}
↑ Brown, Ronald (2006). 《Topology and groupoids. A geometric account of general topology, homotopy types and the fundamental groupoid》 (영어) 3판. ISBN 1-4196-2722-8 . Zbl 1093.55001 .
![{\displaystyle {\begin{matrix}X&\xleftarrow {i_{2}} &X_{2}\\{\scriptstyle i_{1}}\uparrow &\searrow {\scriptstyle f}&\downarrow {\scriptstyle f_{2}}\\X_{1}&{\xrightarrow[{f_{1}}]{}}&Y\end{matrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1908843d371a6ff4634c53333de813ac468b7ef1)
