전산수리해석/상수관망 시스템 개요

상수관망 시스템의 고려사항

1. 수요(water demands)
   • 현재 수요, 미래 필요할 수요 고려
   • 1인당 급수량
   • 지역 내 물 분배는 토지 이용 등에 따라 결정
2. 공급 가능량(supply)
   1. 다양한 수요패턴을 만족시켜야 함.(예 : 일 최대수요량)
   2. 재난, 화재 등 비상 시 용수공급이 가능해야 함.
3. 저장(storage)
   1. 상수관망 내 탱크, 저수조 등 저장시설 필요.
   2. 순간적 용수 부족 시 운영 중단 방지.
   3. 화재, 지진 등 비상 시 대체용수.
4. 설계수압
   1. 수요지점에서 측정된 수압이 높거나 낮으면 물 이용, 사용성 측면에서 바람직하지 않음.
   2. 최저수압 1.53kgf/cm² (KDS 57 65 00 :2017 배수시설 설계기준)
5. 설계(안)을 바탕으로 설계 타당성 검토
   1. 설계기준을 바탕으로 상수관망을 EPANET 등 수리 모델 이용하여 타당성 검토
   2. 다양한 운영 시나리오에 의한 모의 실시
      1. 일 최대수요
      2. 일 최대수요와 소방용수 동시 모의.
      3. 시 최대수요(peak hourly demand) 등

관망 해석을 위한 구성요소

절점

• 연결관로 처음과 끝 지점.
• 취수원, 용수 수요지점, 관 재질 또는 관경 변화 지점, 교차지점을 의미.(관로에서 흐름 변화 가능성 있는 변화점, 불연속점)

고정 절점

• 저수지(reservoir) 또는 경계조건 부여된 지점은 수위, 수두가 고정된 절점으로 분류.
• 고정 절점 수위, 수두는 아는 상태. 이를 이용해 동수경사를 계산함.
• 고도는 자유수면 높이로, 압력은 0

관로

• 두 절점을 연결하는 관로 중 관경이 일정한 부분.

폐합관로(폐회로 관로, loop)

• 관로 시작점이 최종 관로 끝점이 되며, 동시에 두 개의 끝이 존재하지 않는 방식으로 연결된 관로 집합.

펌프

• 펌프 상, 하류가 서로 다른 압력수두를 가짐. 연결관로에 속함.
• 펌프 특성곡선 필요(유량 - 양정)

저수조, 저류조

• 수위(동수경사선)가 고정된 절점.
• 절점 위치수두는 수조 높이.
• 수위는 수조부터 자유수면까지 수직거리.

관망 형태

Branch System(수지형)

• 관망 내 Loop 없음.
• 각 관 유량 알 수 있음.
• 흐름 방향 바뀌지 않음.

Loop System(망형)

• 최소 1개 Loop 존재.
• 각 관 유량 알 수 없음.
• 흐름 방향 바뀜.

관망해석 기본과정

• 관망 내 수두손실에 따라 유량 변함.
• 수두손실과 유량의 관계가 비선형이기 때문에 직접적인 방법으로 해를 찾기 어렵다.
• 따라서 절점별 질량보존법칙, 또는 루프마다 에너지 보존법칙 이용.
• 미지항(Q)와 동일 수의 비선형방정식을 세우고 시행착오법으로 구함.

Hardy Cross 방법

• 적용 간단. 이해 쉬움. 수계산 가능.
• 대규모 관망 시스템에는 효율 떨어짐.

배경 이론

1. 연속방정식(질량보존법칙) : 한 절점 유입량 = 유출량
2. 에너지 보존 법칙 : 단일 루프의 손실수두 합은 0

계산 절차

♣♣♣꼭 캡쳐해둔 예제 풀어보기!!

한개의 폐회로에 대해서 유량이 흐르는 경우 손실수두 합은 다음 식으로 나타낼 수 있다.

$\Delta Q=-{\frac {\Sigma kQ'^{n}}{\Sigma knQ'^{n-1}}}$ (부호 마이너스임!!)

여기서 Q'은 실제 유량 Q에 대한 가정 유량이다.$(Q=Q'+\Delta Q)$ 이 식을 기본으로 하여 가정유량을 축차보정함으로써 실제 유량을 근사적으로 구하는 것이 하디 크로스법이다. 절차는 다음과 같다.

1. '배경 이론' 1번을 만족하도록 각각의 관에 흐르는 유량 Q'을 가정한다.
2. n, k값을 결정한다. 각 관에 대하여, 가정 유량 Q'에 대한 손실수두 h_L' 즉, $kQ'^{n},knQ'^{n-1}$을 계산한다. 이때 $kQ'^{n}$은 음수가 될 수 있다!(흐름방향과 측정방향이 일치하면 양, 아니면 음) $knQ'^{n-1}$은 무조건 양수다!
3. 각각의 폐회로에 대해 $\Sigma {h_{L}}'(=\Sigma kQ'^{n}),\Sigma knQ'^{n-1}$을 계산한다.
4. 3번의 결과를 이용하여 $\Delta Q$를 구한다. 이 값이 0이 아닌 경우 Q'(양수값. 스칼라양인 듯?)에 $\Delta Q$를 더하거나 빼서 1차 수정 유량을 정한다. 가정 유량의 방향이 시계방향이면 보정유량을 더해주고, 반시계방향이라면 보정유량을 빼주면 1차 수정 유량을 구할 수 있다. 2개 회로 모두에 속하는 관에 대해서는 이중으로 보정해준다.
5. 다시 2번 과정으로 돌아가서 $\Delta Q$가 어느정도 허용한도 내에 들어올 때까지 계산을 반복한다.
   • $\Delta Q$가 계산 단계를 거칠 때마다 줄어들지 않는다면 계산실수를 의심해보아야 한다.

Gradient Algorithm

• 다른 알고리즘과 달리 유량과 손실수두 동시 계산
• 유량 연속방정식, 루프 순환방정식을 수식화한 요소들을 행렬로 나타내어, 보정오차가 0이 되도록 반복계산.
• 초기유량 가정 시 연속방정식 만족하지 않아도 해에 수렴하는 장점.(하디크로스법과 결과값 차이가 난다면 여기서 남.)
• EPANET에 사용되는 수치해석법.

기타 해석 방법

선형이론법(Linear Theory Method)

• 각 루프에서 수두손실 합에 대한 비선형 방정식을 선형방정식으로 변형하여 반복계산.
• 수정된 선형이론법이 KYPIPE(과거 프로그램)에 이용됨.

뉴턴 방법(Newton-Raphson method)

Newton-Raphson method

함수 f는 파란 선, 각 접선은 빨간 선이다. 접선의 영점을 반복적으로 취해 나갈 때, x_n과 실제 영점의 오차가 점차 줄어듦을 확인할 수 있다.

• Hardy Cross 방법과 기본적으로 동일.
• 일반적인 비선형 방정식의 근사해를 구하는 알고리즘. 초기유량 가정 후 비선형 방정식 반복계산 통해 보정유량 계산.
• 전단계 보정유량과 차이가 충분히 작아지면 최종 보정유량을 초기유량에 더해 계산 종료.