토목공학/응용역학/보의 처짐

기사 출제 1위 ♣♣♣

부호 약속

• 처짐 : 하향 +, 상향 -
• 처짐각 : 변형 전 축 기준 시계방향 +, 반시계방향 -

계산 방법

15-2 종류 물어봄

1. 모멘트 면적법
2. 탄성하중법 : 단순보에만
3. 공액보법 : 내민보, 외팔보, 연속보에 적용 가능. 단순보에만 적용가능한 탄성하중법을, 이러한 형태의 보에도 가능하도록 보를 바꾼 것을 공액보라고 함. 뼈대에는 어려움
4. (공액구조법(conjugate structure method))
5. 가상일법(가상단위하중법)
6. 카스틸리아노의 제 2법칙

이 방법들은 부정정보, 골조와 트러스 반력 계산에도 사용된다.

그 외

• 이중적분법(Double Integration Method)

모멘트면적법

Saint Venant에 의해 발견. Mohr, Greene이 개선.

♣♣♣ 15-2, 16-1, 17-2 등등

• 제 1정리 : 부재 두 점에서 그은 탄성곡선 접선 사이 처짐각 변화량은 두 점 사이 모멘트도 면적을 EI로 나눈 것과 동일

$\theta _{AB}=\int _{A}^{B}{\frac {M}{EI}}dx$

• 제 2정리 : 보의 탄성곡선 한 점에서의 접선이 탄성곡선의 다른 점과 이루는 상대적인 처짐량은 처짐을 계산코자 하는 점에서 취한 두 점 사이 모멘트도 면적의, A점을 지나는 축에 대한 단면 1차 모멘트를 EI로 나눈 것과 동일

$\Delta _{AB}=\int _{A}^{B}{\frac {Mx}{EI}}dx$

탄성하중법

• 탄성하중 : 모멘트를 EI로 나눈 값. 이것을 하중으로 작용시키기 때문에 탄성 '하중'이라고 함.

17-4

• A를 M/EI도의 면적이라고 하면, 처짐($\Delta$)은 $\Delta _{L}=Ax,\Delta _{R}=Ay$이고, 두 접선 사이의 각은 A이다.
• 가상의 보에 M/EI도에 따라 하중이 재하되면, 반력은 $R_{L}={\frac {Ay}{L}}$, $R_{R}={\frac {Ax}{L}}$이다.
• 처짐각$(\theta )$은 $\theta _{L}={\frac {\Delta _{R}}{L}}={\frac {Ay}{L}},\theta _{R}={\frac {\Delta _{L}}{L}}={\frac {Ax}{L}}$

탄성하중법에 대한 핵심 정리

이게 모멘트면적법, 탄성하중법에 대한 핵심임!

1. 단순보 임의 점에서 탄성곡선의 처짐각$(\theta )$(양쪽 지점을 현으로 하였을 때 측정한 값)은 M/EI도가 하중으로 작용하는 보에서 그 점의 전단력과 동일하다.
2. 단순보 임의 점에서 탄성곡선의 처짐($\Delta$)(양쪽 지점을 현으로 하였을 때 측정한 값)은 M/EI도가 하중으로 작용하는 보에서 그 점의 모멘트와 동일하다.

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17-4

D점 처짐각, 수직처짐? EI는 일정

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곡률도(EI는 편의상 생략함.)만큼이 분포하중으로 보고 반력부터 계산한다.

${\begin{aligned}V_{A}&={\frac {1}{2}}\times {\frac {Pl}{4}}\times {\frac {l}{2}}\\&={\frac {Pl^{2}}{16}}\\\end{aligned}}$

D점 처짐각은 곡률도만큼 분포하중이 작용할 때 D점에서 전단력과 동일

${\begin{aligned}\theta _{D}&=V_{A}-{\frac {1}{2}}\times {\frac {Pl}{8}}\times {\frac {l}{4}}\\&={\frac {Pl^{2}}{16}}-{\frac {1}{2}}\times {\frac {Pl}{8}}\times {\frac {l}{4}}\\&={\frac {3Pl^{2}}{64}}\\\end{aligned}}$

D점 수직처짐은 곡률도만큼 분포하중이 작용할 때 D점에서 모멘트와 동일

${\frac {Pl^{2}}{16}}\times {\frac {l}{4}}+M={\frac {Pl^{2}}{64}}\times {\frac {l}{12}}$

${\begin{aligned}M&=Pl^{3}\left({\frac {1}{64\times 12}}-{\frac {1}{16\times 4}}\right)\\&=Pl^{3}\times \left(-{\frac {11}{768}}\right)\\\end{aligned}}$

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14-1, 16-4

A점의 처짐각은? EI는 일정하다.

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탄성하중법을 쓸 것이다. 먼저 반력을 구하고, 휨모멘트를 구한다음 EI로 나눈 값만큼을 하중으로 재하시킨 탄성하중도를 그린다.

$\sum M_{B}=0$

$M_{B}=V_{A}\cdot l$

$V_{A}={\frac {M_{B}}{l}}$

$\sum M_{B}=0$

$V_{A}\times l={\frac {M_{B}l}{2EI}}\times {\frac {l}{3}}$

$V_{A}={\frac {M_{B}l}{6EI}}$

A점 처짐각은 A점에서의 전단력과 같다. A점 전단력은 V_A이므로

$\theta _{A}={\frac {M_{B}l}{6EI}}$

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16-2 보의 최대처짐 위치

Deflection

EI가 일정할 때 최대처짐 위치는 A로부터 얼마 떨어진 곳인가?

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탄성하중법을 쓸 것이다. 공액보에 탄성하중을 재하했을 때 전단력이 0인 점이 최대모멘트 발생점이고, 그곳이 최대처짐점이다.

우선 원구조물에서 전단력도를 그리고, 공액보의 탄성하중도를 그린다.

A점에서 모멘트합을 취하면 B점 반력을 구할 수 있다. 계산은 생략.

다음 단계로, B점에서부터 x만큼 떨어진 임의 지점에서의 전단력이 0이 되는 지점을 구한다.

${\frac {125}{\cancel {8}}}{\cancel {P}}={\cancel {\frac {1}{2}}}\times {\frac {{\cancel {P}}x}{\cancel {4}}}\times x$

$x^{2}=125$

x = 11.18m

A로부터의 거리는 20 - 11.18 = 8.82m

공액보법

♣♣♣

원 구조에서 모멘트도를 구한 뒤, EI로 나눈 곡률도만큼 탄성하중을 원 구조의 공액보에 재하하여 처짐, 처짐각을 계산

Real support vs Conjugate support

Real beam		Conjugate beam
Fixed support		Free end
$v=0$ $\theta =0$		${\overline {M}}=0$ ${\overline {Q}}=0$
Free end		Fixed support
$v\not =0$ $\theta \not =0$		${\overline {M}}\not =0$ ${\overline {Q}}\not =0$
Hinged support		Hinged support
$v=0$ $\theta \not =0$		${\overline {M}}=0$ ${\overline {Q}}\not =0$
Middle support		Middle hinge
$v=0$ $\theta$:continue		${\overline {M}}=0$ ${\overline {Q}}$:continue
Middle hinge		Middle support
$v$:continue $\theta$:discontinue		${\overline {M}}$:continue ${\overline {Q}}$:discontinue

Examples of conjugate beam

Real beam		Conjugate beam
Simple beam
Cantilever beam
Left-end Overhanging beam
Both-end overhanging beam
Gerber's beam (2 span)
Gerber's beam (3 span)

00, 16-1 기출

최대처짐각 θ_B를 구하시오.

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반력계산

A에서 B까지 탄성하중도의 면적을 구하면 B에서의 최대처짐각이다.

사다리꼴 면적 + 포물선 면적하면 된다.

${\frac {wl^{3}}{8EI}}+{\frac {1}{3}}\times {\frac {l}{2}}\times {\frac {wl^{2}}{8EI}}={\frac {7wl^{3}}{48EI}}$

가상일의 방법

♣♣♣ 14-3, 15-1, 17-4, 18-1

구하고자 하는 점에 가상 단위 하중 1을 작용시켜 처짐을 구하는 방법.

$y_{x}=\int _{0}^{l}{\frac {M\cdot m}{EI}}dx$

처짐각을 구하고자 한다면 가상 단위 모멘트 1을 작용시켜야 된다. 처짐각 계산은 모멘트면적법이 편함.

Product Integral

$\int _{0}^{L}m_{1}m_{2}dx={\frac {L}{6}}[a(2c+d)+b(2d+c)]$

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16-1

B점의 수평변위는? EI는 일정.

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M, m을 찾는다.

$M=-P\times 2r=-2Pr$

$m=-1\times x=-x$

${\begin{aligned}\Delta &={\frac {1}{EI}}\int _{0}^{h}2Prxdx\\&={\frac {2Pr}{EI}}\int _{0}^{h}xdx\\&={\frac {Prh^{2}}{EI}}\end{aligned}}$

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15-2, 18-3

수직외력이 없으니 수직반력도 0임!!

${\begin{aligned}EI\Delta &={\frac {7}{6}}[4(2\times 105)+4\times 105]\\&=1470kg\cdot m^{3}\\\end{aligned}}$

문제 조건에서 $EI=2\times 10^{9}kg\cdot cm^{2}$

${\begin{aligned}\Delta &={\frac {1470kg\cdot m^{3}}{EI}}\\&={\frac {1470\times 10^{6}kg\cdot cm^{3}}{2\times 10^{9}kg\cdot cm^{2}}}\\&=0.735cm=7.35mm\end{aligned}}$

암기해야할 변형값

♣♣♣ 14-2, 14-3, 16-2, 18-1, 18-3, 19-1

확실히 못 외우겠으면 그냥 계산하는 것도 나쁘지 않은 듯. 시간 남는다면.

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19-2 기출

중앙점 처짐 δ=0이 되도록 양쪽 지점에 모멘트 M을 작용시키려고 한다. M을 P, L로 나타내면?

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δ는 암기한 값을 쓰거나 정 안 되면 계산해서 구한다.

$\delta ={\frac {PL^{3}}{48EI}}$

양쪽 지점에 모멘트를 가한 것에 의해 발생하는 변위가 위 δ와 상쇄되면 된다.

모멘트도를 그리고, M을 제거한 단순보의 변위를 구하고자 하는 점에 단위하중을 재하한 가상계의 모멘트도 m을 구한다. 변위일치법을 이용해 M에 의한 변위 Δ 계산

${\begin{aligned}EI\Delta &=2\times {\frac {1}{6}}\times {\frac {L}{2}}\left({\frac {L}{4}}(M+2M)\right)\\&={\frac {ML^{2}}{8}}\\\end{aligned}}$

$\Delta =\delta$이므로

${\frac {ML^{2}}{8EI}}={\frac {PL^{3}}{48EI}}$

$\therefore M={\frac {PL}{6}}$

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02-1, 08-1, 12-1, 12-3, 15-2, 16-2 기출

w = 1tf/m, δ = 1cm, $EI=2.0\times 10^{12}kg\cdot cm^{2}$일 때 가운데 지점의 수직반력 R_c는 얼마가 생기는가?

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분포하중에 의한 처짐값(암기)

${\frac {5wL^{4}}{384EI}}$

수직반력을 집중하중이라고 봤을 때 처짐을 상쇄하는 변위량(암기하든, 탄성하중법으로 구하든)

${\frac {R_{c}\cdot L^{3}}{48EI}}$

${\frac {5wL^{4}}{384EI}}-{\frac {R_{c}\cdot L^{3}}{48EI}}=0.01m$

${\frac {5\times 1000kgf\times 20^{4}m^{4}}{384\times 2.0\times 10^{8}kg\cdot m^{2}}}-{\frac {R_{c}\cdot 20^{3}m^{3}}{48\times 2.0\times 10^{8}kg\cdot m^{2}}}=0.01m$

$\therefore R_{c}=500kgf$

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04-3, 06-2, 12-1, 15-3 일부 구간 EI가 무한대인 단순보의 처짐

우측 그림과 같은 보에서 중앙점 처짐량을 계산하시오. 가운데 구간 휨강성은 EI이다.

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${\begin{aligned}\Delta &=2\times {\frac {1}{6}}\times {\frac {L}{4}}\left[{\frac {L}{8}}\left({\frac {PL}{4EI}}+{\frac {PL}{4EI}}\right)+{\frac {L}{4}}\left({\frac {PL}{8EI}}+{\frac {PL}{2EI}}\right)\right]\\&={\frac {7}{384}}{\frac {PL^{3}}{EI}}\\\end{aligned}}$

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유사 15-1

자유단에서의 처짐을 구하시오. $EI=3.2\times 10^{11}kg\cdot cm^{2}$

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모멘트도 그려서 변위일치법 쓰기엔 시간이 너무 오래걸린다.

처짐곡선을 그리고 처짐각이 B 기준 좌우로 같음을 이용해야 함.

${\begin{aligned}\theta &={\frac {qL^{3}}{24EI}}\\&={\frac {3t/m\times 6^{3}m^{3}}{24\times 3.2\times 10^{11}kg\cdot cm^{2}}}\\&={\frac {3000kg\times 6^{3}\times 10^{4}cm^{2}}{24\times 3.2\times 10^{11}kg\cdot cm^{2}}}\\&=0.00084375rads\end{aligned}}$

$\theta ={\frac {\Delta }{200cm}}$

${\begin{aligned}\Delta &=200cm\times \theta \\&=0.169cm\\\end{aligned}}$

트러스에 가상일법 적용

♣♣♣14-1, 14-3, 16-4, 17-2, 19-1

1. 외부하중에 의한 부재력 계산
2. 외력 제거, 변위 구하고자하는 절점에 변위 방향으로 단위하중(무차원)
3. 단위하중에 의한 부재력 μ 계산
4. $\mu {\frac {FL}{EA}}$ 계산
5. $\Delta =\sum \mu {\frac {FL}{EA}}$

부재 하나하나의 변형량은 ${\frac {FL}{EA}}$이다. 어디서 많이 보던 식이지?