토목기사 요약/응용역학/구조물의 탄성변형

용어

• 변형에너지(strain energy) = 탄성 에너지(elastic energy)

카스틸리아노 정리와 연결되는 내용임.

카스틸리아노의 정리

제 1정리

• 미지력(모멘트) 구할 때 이용
• 부정정 구조물 해석에 이용

탄성체에 외력 또는 모멘트가 작용할 때 전체 변형 에너지 U_i를 하중 작용점에서의 힘의 방향의 변위(처짐), 변위각(처짐각, 회전각)으로 1차 편미분한 것은 그 점의 힘 또는 모멘트와 같다.

15-2, 16-4, 19-3

$P_{j}={\frac {\partial U_{i}}{\partial \delta _{j}}},\quad M_{j}={\frac {\partial U_{i}}{\partial \theta _{j}}}$

• U_i : 전체 변형 에너지(total strain energy)
• P_j, M_j : j점의 하중, 모멘트
• $\delta _{j},\ \theta _{j}$ : j점의 처짐, 처짐각

제 2정리

• 처짐, 처짐각을 구할 때 이용
• 부정정 구조물 해석에도 이용.(최소일의 원리)

$\delta _{j}={\frac {\partial U_{i}}{\partial P_{j}}},\quad \theta _{j}={\frac {\partial U_{i}}{\partial M_{j}}}$

상반작용의 원리

Reciprocal theorem.

기사 시험에선 그냥 소개하는 정도의 쉬운 난이도로 출제. 계산 문제도 복잡하지 않고 그냥 두 개 곱해서 같다고 놓으면 풀 수 있는 정도다.

응용

• 부정정 구조물을 해석할 때 변형일치법으로 응용한다.
• 부정정 구조물의 영향선을 만들 때 이용한다.

베티의 정리(상반 가상일의 정리)

13-2, 15-1

"재료가 탄성적이고 훅의 법칙을 따르는 구조물에서 지점침하, 온도변화가 없을 때 한 역계 P_i에 의해 변형되는 동안 다른 역계 P_j이 하는 외적인 가상일은 P_j 역계에 의해 변형하는 동안 P_i 역계가 하는 외적인 가상일과 같다."

δ_ij : j점 하중에 의한 i점 처짐.

δ_ji : i점 하중에 의한 j점 처짐.

θ_ij : j점 모멘트에 의한 i점 처짐각.

θ_ji : i점 모멘트에 의한 j점 처짐각.

$P_{i}\cdot \delta _{ij}=P_{j}\cdot \delta _{ji}$

$P_{i}\cdot \delta _{ij}=M_{j}\cdot \theta _{ji}$

$M_{i}\cdot \theta _{ij}=M_{j}\cdot \theta _{ji}$

일반적인 경우

$\sum P_{i}\cdot \delta _{ij}=\sum P_{j}\cdot \delta _{ji}$

$\sum P_{i}\cdot \delta _{ij}=\sum M_{j}\cdot \theta _{ji}$

$\sum M_{i}\cdot \theta _{ij}=\sum M_{j}\cdot \theta _{ji}$

Maxwell의 정리

= 상반 처짐의 정리(theorem of reciprocal deflections)

위 Betti의 정리에서 $P_{i}=P_{j}=M_{i}=M_{j}=1$일 때의 식

$\delta _{ij}=\delta _{ji}$

$\delta _{ij}=\theta _{ji}$

$\theta _{ij}=\theta _{ji}$

탄성변형에너지

수직력에 의한 변형에너지

♣♣♣

전체 변형에너지 $U={\frac {P\cdot \delta }{2}}$

$\delta ={\frac {Pl}{EA}}$이므로

$U=\int _{0}^{l}{\frac {P^{2}}{2EA}}dx={\frac {1}{2EA}}\int _{0}^{l}P^{2}dx={\frac {P^{2}l}{2EA}}$

휨으로 인한 변형에너지

♣♣♣13-1, 14-1, 14-2, 14-3, 16-1, 16-2, 20-1+2

${\begin{aligned}U&={\frac {M\cdot \theta }{2}}={\frac {M}{2}}\cdot {\frac {Ml}{EI}}={\frac {M^{2}l}{2EI}}\\&=\int _{0}^{l}{\frac {M^{2}}{2EI}}dx={\frac {1}{2EI}}\int _{0}^{l}M^{2}dx\\\end{aligned}}$

13-1, 14-3, 17-2, 18-1, 19-2

${\begin{aligned}U&={\frac {1}{2EI}}\int M^{2}dx\\&={\frac {1}{2EI}}\int P^{2}x^{2}dx\\&={\frac {P^{2}L^{3}}{6EI}}\end{aligned}}$

05-2, 11-1, 16-4

오른쪽 그림에서 휨에 의한 탄성에너지를 구하시오.

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먼저 반력을 구하고, 모멘트도까지 그린다.

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${\begin{aligned}U&={\frac {1}{2EI}}\left(\int _{0}^{L}(PL)^{2}dx+\int _{0}^{L}(-PL+Px)^{2}dx\right)\\&={\frac {1}{2EI}}\left[P^{2}L^{2}\cdot L+\int _{0}^{L}(P^{2}L^{2}+P^{2}x^{2}-2P^{2}Lx)dx\right]\\&={\frac {1}{2EI}}\left[P^{2}L^{3}+{\cancel {P^{2}L^{3}}}+{\frac {P^{2}}{3}}L^{3}-{\cancel {P^{2}L^{3}}}\right]\\&={\frac {1}{2EI}}\times {\frac {4}{3}}P^{2}L^{3}={\frac {2P^{2}L^{3}}{3EI}}\end{aligned}}$