토목기사 요약/철근콘크리트 및 강구조/RC 보의 휨

• 콘크리트 응력은 중립축에서 거리에 비례하지 않음. 변형률은 비례(80)
• 콘크리트 압축 연단 최대 변형률은 0.003 (99)

보의 휨파괴와 균형보

14-2, 19-2, 19-3 종합적인 이해

• 연성파괴 : 인장철근이 약해서 파괴되는 것
• 취성파괴 : 압축측 콘크리트가 약해서 파괴되는 것. 철근량이 많은 경우 철근 항복 전에 콘크리트 변형률이 극한변형률 0.003에 도달하여 파괴 시 변형이 생기지 크게 생기지 않고 갑자기 콘크리트의 파괴를 일으킨다. 이런 파괴를 취성파괴, 압축파괴라 한다. 취성 파괴는 위험을 예측할 수 없을 뿐만 아니라, 철근 재료 특성인 항복강도와 연성을 활용하지 못해 비경제적인 설계가 되게 한다.

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• 균형보(평형보, balanced beam)
  • 보의 취성파괴는 사고에 대한 안전 대책을 세울 시간 없이 갑자기 일어나므로 이를 방지하기 위해 철근 사용량을 규제해야 함. 이 한계의 철근비를 균형철근비(balanced steel ratio) 또는 평형 철근비라 함. 철근이 항복함과 동시에 콘크리트의 압축변형률이 0.003에 도달할 때의 철근비가 균형철근비임.
  • 균형철근비를 쓴 보를 균형보, 평형보라 함. 이때의 철근량은 균형철근량, 평형 철근량

• 과소 철근보 : 균형철근비보다 철근을 적게 넣어 연성파괴가 일어나게 한 보. 중립축이 압축부쪽으로 이동.
• 과다 철근보 : 균형철근비보다 철근을 많이 넣어 취성파괴가 일어나게 한 보. 중립축이 인장부쪽으로 이동.

철근비

90

$\rho ={\frac {A_{s}}{b\cdot d}}$

균형보의 중립축과 균형 철근비

♣♣♣균형보의 중립축 위치(89, 94, 95, 96, 99, 19-3)

${\begin{aligned}c_{b}&={\frac {0.003}{0.003+\epsilon _{y}}}d={\frac {0.003}{0.003+{\frac {f_{y}}{E_{s}}}}}d\\&={\frac {600}{600+f_{y}}}d\end{aligned}}$

♣♣♣균형철근비 14-3, 18-3

까먹으면 유도 가능.

$0.85f_{ck}ab=A_{sb}f_{y}$

$A_{sb}={\frac {0.85f_{ck}\beta _{1}c_{b}b}{f_{y}}}$

${\begin{aligned}\rho _{b}&={\frac {A_{sb}}{bd}}={\frac {0.85f_{ck}\beta _{1}c_{b}{\cancel {b}}}{f_{y}{\cancel {b}}d}}\\&={\frac {0.85f_{ck}\beta _{1}}{f_{y}{\cancel {d}}}}\cdot {\frac {600}{600+f_{y}}}{\cancel {d}}\\&={\frac {0.85f_{ck}}{f_{y}}}\beta _{1}\cdot \left({\frac {600}{600+f_{y}}}\right)\\&={\frac {0.85f_{ck}a}{f_{y}\cdot d}}\\\end{aligned}}$

${\begin{aligned}\rho _{b}&=0.85\beta _{1}{\frac {f_{ck}}{f_{y}}}{\frac {0.003}{0.003+\epsilon _{y}}}\\&=0.85\beta _{1}{\frac {f_{ck}}{f_{y}}}{\frac {600}{600+f_{y}}}\\\end{aligned}}$

최소철근비

♣♣12-3, 13-1, 14-2, 15-1, 15-2, 15-3

휨부재 정철근량은 해석 상 소요 철근량보다 1/3만큼 추가하지 않은 경우 철근비가

${\frac {0.25{\sqrt {f_{ck}}}}{f_{y}}}$ 또는 ${\frac {1.4}{f_{y}}}$ 중 큰값 이상이어야 한다.

최대 철근비

fy (MPa)	최소 허용 인장변형률 εtmin
400 이하	0.004
400 초과	$2.0\epsilon _{y}$

최대철근비는 다음으로부터 계산된 값이다.

$\rho _{b}=0.85\beta _{1}{\frac {f_{ck}}{f_{y}}}{\frac {0.003}{0.003+\epsilon _{y}}}$

$\rho _{max}=0.85\beta _{1}{\frac {f_{ck}}{f_{y}}}{\frac {0.003}{0.003+\epsilon _{tmin}}}$

위 두 식을 조합하면 아래처럼 된다.

${\begin{aligned}\rho _{max}&={\frac {\epsilon _{c}+\epsilon _{y}}{\epsilon _{c}+\epsilon _{tmin}}}\rho _{b}\\&={\frac {0.003+\epsilon _{y}}{0.003+\epsilon _{tmin}}}\rho _{b}\\\end{aligned}}$

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1. 90

강도 설계법에서 균형 철근비 ρ_b = 0.0365, b = 300mm, d = 500mm일 때 유효 철근량은?

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풀이

다른 조건이 없으므로 최대 철근비에 의해 구한다.

$\rho ={\frac {A_{s}}{b\cdot d}}$에서 $A_{s}=\rho \cdot b\cdot d$

$\rho _{max}=0.75\rho _{b}$이므로 (별 조건 없으면 최대값인 0.75로 한다고 함.)

$A_{s}=0.75\rho \cdot b\cdot d=4106mm^{2}$

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2. 92, 18-3(다른 숫자로)

단철근 직사각형보 b = 300mm, d = 620mm에서 사용 가능한 최대 인장철근 단면적은? 강도 설계법을 사용하고 f_ck = 24MPa, f_y = 300MPa이다.

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풀이

f_y = 300MPa일 때 ρ_max = 0.643 ρ_b

$\rho _{b}={\frac {0.85f_{ck}\beta _{1}}{f_{y}}}\times {\frac {600}{600+f_{y}}}$

${\begin{aligned}\rho _{max}&=0.643\rho _{b}\\&=0.643{\frac {0.85f_{ck}\beta _{1}}{f_{y}}}\times {\frac {600}{600+f_{y}}}\\&=0.02478\end{aligned}}$

A_s = ρ_max b d = 0.02478×300×620 = 4609 mm²

단철근 직사각형보의 단면 해석

유효깊이 계산

19-1

오른쪽 그림에서 유효깊이 d를 구하시오. D19 철근 공칭단면적은 287mm²

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바리뇽의 정리를 이용하는 문제다.

$5d=2\times 350mm+3\times 450mm$

d = 410mm

복철근보에서 압축철근 있어도 유효깊이 구할 땐 인장부 철근만 가지고 함.

휨 강도

♣♣♣ 14-2, 18-1 등등 이 부분은 전반적으로 중요

최외단 철근 변형률 $\epsilon _{t}={\frac {d_{t}-c}{c}}\times 0.003$

♣♣♣ 콘크리트의 압축력

$C=0.85f_{ck}\cdot a\cdot b$

♣♣♣ 18-3 등등

$\beta _{1}={\begin{cases}0.85-(f_{ck}-28)\times 0.007\geq 0.65&(f_{ck}>28MPa)\\0.85&(f_{ck}\leq 28MPa)\end{cases}}$

♣♣♣ 단철근 직사각형 보

C = T

$0.85f_{ck}ab=A_{s}f_{y}$

공칭 휨강도

♣♣♣ 14-3

${\begin{aligned}M_{n}&=T\cdot z=f_{y}A_{s}\left(d-{\frac {a}{2}}\right)\\&=C\cdot z=0.85f_{ck}\cdot a\cdot b\left(d-{\color {red}{\frac {a}{2}}}\right)\\\end{aligned}}$

주의!! 만약 직사각형 단면이 아니라 삼각형과 같은 단면이라면, 모멘트 팔길이 달라짐(위 식에서 빨간색 부분)

계수하중 1.2D + 1.6L

설계 휨강도

79, 99, 16-4 등등 ♣♣♣

${\begin{aligned}M_{d}&=\phi M_{n}\\&={\color {Red}\phi \left\{0.85f_{ck}ab\left(d-{\frac {a}{2}}\right)\right\}}\\&={\color {Red}\phi A_{s}f_{y}\left(d-{\frac {a}{2}}\right)}\\&=\phi f_{y}\rho bd^{2}\left(1-0.59\rho {\frac {f_{y}}{f_{ck}}}\right)\end{aligned}}$

19-1

$q={\frac {f_{y}\rho }{f_{ck}}}$라고 하면

${\begin{aligned}M_{d}&=\phi f_{y}\rho bd^{2}(1-0.59q)\\&=\phi f_{ck}qbd^{2}(1-0.59q)\\\end{aligned}}$

97

계산 상 철근비 $\rho >{\frac {0.003+f_{y}/E_{s}}{0.007}}\rho _{b}$이면 $\rho ={\frac {0.003+f_{y}/E_{s}}{0.007}}\rho _{b}$

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1. 79, 86

b = 300mm, d = 550mm, A_s = 1600mm² 단철근 직사각형 보의 계수 강도 모멘트 M_u를 구하시오.(ρ < 0.75ρ_b, f_ck = 21MPa, f_y = 300MPa)

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풀이

${\begin{aligned}a&={\frac {f_{y}\cdot A_{s}}{0.85f_{ck}\cdot b}}\\&={\frac {300\times 1600}{0.85\times 21\times 300}}=89.6mm\\\end{aligned}}$

음... 지배단면 결정하고 강도감소계수 Φ 결정해야됨...

${\begin{aligned}M_{u}=M_{d}&=\phi M_{n}=\phi A_{s}f_{y}\left(d-{\frac {a}{2}}\right)\\&=0.85\times 1600\times 300\left(550-{\frac {89.6}{2}}\right)\\&=206kN\cdot m\end{aligned}}$

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2. 84, 93

보 자중 10kN/m, 활하중 15kN/m 등분포 하중을 받는 10m 경간 단순 지지보의 극한 설계 모멘트는? (감소율 미고려)

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풀이

w_u = 1.2 w_d + 1.6 w_l = 36kN/m

$M_{u}={\frac {w_{u}\cdot l^{2}}{8}}=450kN\cdot m$

휨균열 제어 - 표피철근 배치

12-3

표피철근(skin reinforcement). 보 또는 장선의 깊이 h가 900mm를 초과하면 종방향 표피 철근을 인장 연단으로부터 h/2 지점까지 부재 양 측면을 따라 균일하게 배치해야 한다.

보 및 1방향 슬래브의 휨철근 배치규정

콘크리트의 인장 연단에 가장 가까이 배치되는 철근의 중심간격 s는 다음 중 작은값 이하여야 한다.

20-1+2

$s={\begin{cases}375{\frac {\kappa _{cr}}{f_{s}}}-2.5C_{c}\\300{\frac {\kappa _{cr}}{f_{s}}}\end{cases}}$

• $\kappa _{cr}={\begin{cases}280\ {\text{(건 조 환 경 )}}\\210\ {\text{(그 외 )}}\end{cases}}$
• C_c : 순피복두께(Clear Cover of Reinforcement). 인장철근이나 긴장재 표면과 콘크리트 표면 사이 최소두께
• f_s : 철근응력(근삿값 : $f_{s}={\frac {2}{3}}f_{y}$)

복철근 직사각형 보의 해석

13-1, 15-2, 16-2, 16-4, 18-2 종합적 이해 필요

$0.85f_{ck}ab+{A_{s}}'f_{y}=A_{s}f_{y}$

$0.85f_{ck}ab=f_{y}(A_{s}-{A_{s}}')$

등가응력 직사각형의 깊이

$a={\frac {(A_{s}-{A_{s}}')f_{y}}{0.85f_{ck}\cdot b}}$

13-1, 14-2, 18-2

압축철근 효과

• 지속하중에 의한 처짐 감소
• 파괴 시 압축응력 깊이 감소. 연성 증대
• 철근 조립 쉽게 함.
• 단철근 보에 비해 압축철근이 들어간다고 휨 내력이 크게 증가하진 않는다.

압축철근 항복 변형률(가끔 출제. 단철근 보와 어떻게 다른지 구별할 것. 원리는 같음. 그림 그려서 이해하기)

${\epsilon _{s}}'={\frac {c-d'}{c}}\times 0.003\geq \epsilon _{y}$

14-2, 16-1

공칭강도 : 복철근보는 단철근 직사각형보가 부담할 수 있는 휨모멘트와, 압축철근과 이에 해당하는 인장철근이 부담할 수 있는 휨모멘트로 구분하여 계산.

${\begin{aligned}M_{n}&=M_{n1}+M_{n2}\\&=(A_{s}-{A_{s}}')f_{y}\left(d-{\frac {a}{2}}\right)+{A_{s}}'f_{y}(d-d')\\\end{aligned}}$

단철근 T형보의 단면 해석(단면이 주어진 경우)

• T형보 : 교량이나 건물에서 슬래브와 보를 일체로 친 경우, 슬래브가 양쪽 플랜지를 이루는 보. T형의 단일체가 되어 외력에 저항한다.
• 횡방향 철근 : 주철근이 보와 같은 방향일 때 하중이 직접적으로 플랜지에 작용하면 플랜지가 아래로 휘면서 파괴될 수 있다. 이 휨파괴를 막기 위해 설치.(19-3)

T형보 플랜지 유효폭

♣♣♣99, 12-3, 13-2, 15-3

세 값 중 작은 값

• $16t_{f}+b_{w}$
• 양쪽 슬래브 중심간 거리
• 경간의 1/4

반T형보 플랜지 유효폭

♣♣♣84, 86, 18-2

세 값 중 작은 값

• $6t_{f}+b_{w}$
• 인접보와 내측거리$\times {\frac {1}{2}}+b_{w}$
• ${\text{보 경 간 }}\times {\frac {1}{12}}+b_{w}$

구한 유효폭 b_e가 아래 계산에서 b로 쓰임.

T형보의 판정

아 G로 비교하는 건 안 나오네... 그래도 알고 싶다면 T형보의 판정 보충 참고.

81, 84

$a={\frac {A_{s}f_{y}}{0.85f_{ck}b}}$

• a > t_f : T형보
• a ≤ t_f : 폭이 b인 단철근 직사각형보

a를 가지고 T형보 판정을 한다.

또는 플랜지 전체가 받는 압축력과 인장철근이 받는 인장력을 비교해서 판정해도 된다.

T형보 강도 계산

♣♣♣ 14-2, 14-3, 15-1, 15-2, 18-1, 18-2, 19-3

f_ck = 21MPa, f_y = 300MPa, b = 1000mm, t_f = 60mm, b_w = 300mm, d = 600mm, A_s = 4000mm²일 때 설계휨강도 φM_n을 구하시오.

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1) T형보 판정

전체에 대해서 응력블록의 깊이 a 계산.

$0.85f_{ck}ab=A_{s}f_{y}$

a = 67.2mm

a > t_f이므로 T형보로 해석한다.

2) 응력사각형 깊이 a 계산

플랜지 내민 부분 압축력에 대응하는 가상의 인장철근 단면적

C_f = T_f에서 $0.85f_{ck}\cdot t_{f}(b-b_{w})=f_{y}A_{sf}$

${\begin{aligned}A_{sf}&={\frac {0.85f_{ck}t_{f}(b-b_{w})}{f_{y}}}\\&={\frac {0.85\times 21\times 60\times (1000-300)}{300}}\\&=2499mm^{2}\end{aligned}}$

C_w = T_w에서

${\begin{aligned}a&={\frac {f_{y}(A_{s}-A_{sf})}{0.85f_{ck}b_{w}}}\\&={\frac {300\times (4000-2499)}{0.85\times 21\times 300}}\\&=84.1mm\end{aligned}}$

Φ 계산(그냥 0.85가 아님!!!!!!!!!!!!!)

$\beta =0.85$

$c={\frac {a}{\beta }}={\frac {84.1}{0.85}}=98.94mm$

${\frac {\epsilon _{t}}{600-98.94}}={\frac {0.003}{98.94}}$

$\epsilon _{t}=0.0152>\epsilon _{t,\ tcl}=0.005$

$\therefore \phi =0.85$

3) 설계강도 M_d

${\begin{aligned}M_{d}=\phi M_{n}&=\phi (M_{nf}+M_{nw})\\&=0.85\left\{A_{sf}f_{y}\left(d-{\frac {t_{f}}{2}}\right)+(A_{s}-A_{sf})f_{y}\left(d-{\frac {a}{2}}\right)\right\}\\&=0.85\left\{2499\times 300\left(600-{\frac {60}{2}}\right)+(4000-2499)\times 300\times \left(600-{\frac {84.1}{2}}\right)\right\}\\&=576787802.3N\cdot mm=576.79kN\cdot m\end{aligned}}$

깊은 보의 설계 제한

깊은 보(deep beam) 정의

• 순경간 l_n이 부재 깊이의 4배 이하인 보 (16-1)
• 하중이 받침부로부터 부재 깊이의 2배 거리 이내에 작용하는 보

제한사항(16-1)

• 깊은 보의 공칭 전단강도 $V_{n}\leq 5V_{c}={\frac {5}{6}}\lambda {\sqrt {f_{ck}}}b_{w}\cdot d$ 이어야 함.
• 휨인장철근과 직각인 수직전단철근 단면적 $A_{v}\geq 0.0025b_{w}s$
• 휨인장철근과 평행한 수평전단철근 단면적 $A_{vh}\geq 0.0015b_{w}s_{h}$