토목기사 요약/측량학/면체적 계산

넓이 계산

곡선부 면적 산정법

• 지거법
• 구적기법(플라니미터법)
• 광학적 주사법
• 방안지법

도형이 곡선으로 둘러싸인 지역 면적계산으로 가장 적합한 것은?(13-2, 14-2, 17-4)

• 방안지법 또는 구적기

97, 98, 01

세 변의 길이가 각각 a, b, c 이고, $s={\frac {a+b+c}{2}}$ 일 때 삼각형의 넓이 A 는

$A={\sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}}$

심프슨 1법칙

♣♣♣ 00, 02, 03, 04

사다리꼴 넓이 + 포물선 넓이 공식으로부터 유도된다.

$\int _{a}^{b}f(x)\,dx\approx {\frac {h}{3}}{\bigg [}f(x_{0})+f(x_{n})+4\sum _{j=1}^{n/2}f(x_{\color {red}2j-1})+2\sum _{j=1}^{n/2-1}f(x_{\color {red}2j}){\bigg ]}$

이 식에서 $n$은 구간 $[a,b]$을 나눈 부분구간의 총 개수를 뜻하며 짝수여야 하고, $h=\textstyle {\frac {b-a}{n}}$은 각 부분구간의 길이이다. 면적측량 시 n이 홀수라면 남는 부분은 사다리꼴의 넓이로 계산하여 더해준다.

심프슨 2법칙

93 / 실기 ♣♣♣

n이 3의 배수일 때 3개의 h씩 묶어 면적을 계산하여 다음 식으로 전체 면적을 구할 수도 있다. n이 3의 배수가 아니면, 2법칙을 적용하고 남는 구간은 심프슨 1법칙으로 계산해서 더한다.

${\color {red}{\frac {3}{8}}}h[f(x_{0})+f(x_{n})+{\color {red}2}\Sigma f(x_{\text{3의 배 수 }})+{\color {red}3}\Sigma f(x_{\text{남 은 수 }})]$

삼각형 면적 분할

20-1+2

밑변이 평행하고 닮은꼴인 삼각형 면적 분할 문제 나옴. 닮음비 이용해서 계산하는 문제.

구적기

도면 축척과 구적기 축척이 다를 경우

96

• 도면의 축척이 같을 경우

$A=\left({\frac {M}{m}}\right)^{2}Cn$

M : 도면의 축척 분모수

m : 구적기의 축척 분모수

C : 구적기 계수

n : 구적기 회전 눈금수($\alpha _{2}-\alpha _{1}$)

98

축척이 ${\frac {1}{m}}$인 경우의 단위면적 a

$a=m^{2}{\frac {d\pi }{1000}}l$

d : 측륜의 직경

l : 측간의 길이

${\frac {d\pi }{1000}}$ : 측륜 한 눈금의 크기

정도

면적오차와 정도

♣♣

면적오차(부정오차) : A = xy에서

${\begin{aligned}\Delta A&=\pm {\sqrt {\left({\frac {\partial A}{\partial x}}\right)^{2}(\Delta x)^{2}+\left({\frac {\partial A}{\partial y}}\right)^{2}(\Delta y)^{2}}}\\&=\pm {\sqrt {(y\cdot \Delta x)^{2}+(x\cdot \Delta y)^{2}}}\\\end{aligned}}$

최종표현방법

오차가 없을 때 면적에 부정오차 붙여 표현

$A_{0}=A\pm \Delta A$

♣♣♣ 10, 13-1, 14-2, 15-1, 17-4, 19-1

면적의 정도

$A=L^{2}$

${\frac {\Delta A}{A}}=2{\frac {\Delta L}{L}}$

측량의 읽음 단위는 오차보다 작아야 하므로 최소 읽음은 오차와 같다.

---

14-1, 14-2, 17-4

100m² 정사각형 토지면적을 0.2m²까지 정확하게 측정하려면 한 변의 최대허용오차는 얼마여야 하는가?

---

$\Delta A=0.2m^{2}$

A = 100m²

$L={\sqrt {A}}={\sqrt {100m^{2}}}=10m$

${\frac {\Delta A}{A}}=2{\frac {\Delta L}{L}}$

${\begin{aligned}\Delta L&={\frac {\Delta A}{A}}\times {\frac {L}{2}}\\&={\frac {0.2}{100}}\times {\frac {10}{2}}\\&=0.01m=10mm\end{aligned}}$

---

또는 아래와 같이 풀어도 됨. 이게 더 편하다.

${\sqrt {100.2}}=10.009995m\doteqdot 10.01m$

최대허용오차는 0.01m = 10mm

체적오차와 정도

♣♣

체적오차(부정오차)

${\begin{aligned}\Delta V&=\pm {\sqrt {\left({\frac {\partial V}{\partial x}}\right)^{2}(\Delta x)^{2}+\left({\frac {\partial V}{\partial y}}\right)^{2}(\Delta y)^{2}+\left({\frac {\partial V}{\partial z}}\right)^{2}(\Delta z)^{2}}}\\&=\pm {\sqrt {(yz\cdot \Delta x)^{2}+(xz\cdot \Delta y)^{2}+(xy\cdot \Delta z)^{2}}}\\\end{aligned}}$

최종 표현 방법 $V_{0}=V\pm \Delta V$

00

체적의 정도(정오차)

$V=L^{3}$을 연상하면 됨.

${\frac {\Delta V}{V}}=3{\frac {\Delta L}{L}}$

문제에서 나오는 "오차"는 여기서 Δ붙은 거라고 생각하면 될 듯.(00)

토공량 산정

기본식

18-2

• 각주공식
• 양단면 평균법
• 중앙단면법

99, 15-2, 20-1+2

양단면 면적차가 심할 때 산출된 토량의 대소관계 : 양단면 평균법(과대) > 각주공식(정확) > 중앙단면법(과소)

각주공식

심프슨 1법칙 이용한 것. 가장 정확.

${\begin{aligned}V_{0}&={\frac {1}{3}}{\frac {h}{2}}(A_{1}+4A_{m}+A_{2})\\&={\frac {h}{6}}(A_{1}+4A_{m}+A_{2})\\\end{aligned}}$

양단면 평균법

05, 13-1, 19-3

$V_{0}=h{\frac {A_{1}+A_{2}}{2}}$

중앙 단면법

$V_{0}=A_{m}\cdot h$

등고선을 이용한 체적 계산

각주공식

01

n은 짝수. 홀수일 경우는 짝수까지만 하고 남는 체적은 양단면 평균법으로 구해서 더함.

$V={\frac {h}{3}}(A_{0}+A_{n}+4\Sigma A_{\text{홀 수}}+2\Sigma A_{\text{짝 수}})$

h : 등고선 간격

점고법에 의한 용적 계산

♣♣♣ 실기 계산 문제

• 운동장, 비행장 같은 넓은 지형의 정지 공사에서 토량 계산 시 점고 계산법이 가장 적당(09)

사각형으로 나눈 전 토공량 계산

02, 04, 13-2

$V={\frac {1}{4}}A\left(\sum h_{1}+2\sum h_{2}+3\sum h_{3}+4\sum h_{4}\right)$

계획고(평균 표고) $h={\frac {V_{0}}{nA}}$

삼각형으로 나눈 전 토공량 계산

12-3, 14-3, 19-2

$V={\frac {1}{3}}A\left(\sum h_{1}+2\sum h_{2}+3\sum h_{3}+4\sum h_{4}+\cdots +8\sum h_{8}\right)$

계획고(평균 표고) $h={\frac {V_{0}}{nA}}\quad \left(A={\frac {1}{2}}ah\right)$

유토곡선

• 작성 목적 : 경제적인 노선 선정, 운반거리 산정, 토공기계 선정

05, 09, 16-1

• 유토곡선 기울기가 하향이면 성토구간, 상향이면 절토구간