토목기사 요약/측량학/삼각 측량

출제 기준

2019-2021

• 삼각측량 개요
• 방법
• 수평각 측정 및 조정
• 변장계산 및 좌표 계산
• 삼각수준측량
• 삼변측량

삼각측량 개요

삼각측량 : 삼각법을 사용해 위치를 알아내는 측량 방식.

삼각점 선점 시 유의사항(12-3, 14-2)

• 가능한 측점 수가 적고(거리가 길면 측점 수 적어짐) 세부측량에 이용가치가 커야 한다.
• 삼각형은 정삼각형에 가까울수록 좋으나 1개의 내각은 30 - 120도 이내로 한다.
• 삼각점의 위치는 다른 삼각점과 시준이 잘 되어야 한다.
• 불가피한 경우 편심관측 허용함.
• 많은 나무의 벌채를 요하거나 높은 측표를 요하는 기점을 가능한 피한다.
• 미지점은 최소 3개 최대 5개의 기지점에서 정, 반 양방향으로 시통이 되어야 한다.

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• 삼각측량은 주로 각을 실측, 측점간 거리는 계산으로 구함(95)

방법

작업 순서

• 계획 및 준비 - 답사 - 선점 - 조표 - 관측 - 계산 및 정리
• 계산 순서(15-2) : 편심 계산 - 삼각형 변, 방향각 계산 - 좌표 계산 - 표고 계산 - 경위도 계산

삼각망 종류

♣♣♣13-2, 16-2, 17-4

단열 삼각망

• 단열삼각망
  • 폭이 좁고 거리가 먼 지역에 적합
  • 노선, 하천, 터널측량 등에 이용
  • 거리에 비해 관측수가 적다
  • 측량이 신속하고 경비가 적게 든다.
  • 조건식이 적어 정도가 낮다.

유심 삼각망

• 유심다각망
  • 동일 측점수에 비해 포함 면적이 가장 넓다.
  • 방대한 지역에 이용
  • 농지 측량 및 평탄한 지역에 사용
  • 정도는 단열삼각망보다는 높으나, 사변형보다는 낮다.

사변형 삼각망

• 사변형 삼각망
  • 조정이 복잡하고 포함 면적이 적다.
  • 시간과 비용이 많이 든다.
  • 조건식의 수가 가장 많아 정도가 가장 높다.
  • 기선 삼각망에 이용한다.

각 측량기

각 오차

• 거리의 정도와 각의 정도는 같다.
• ${\text{정 도 }}={\frac {\text{오 차 }}{\text{전 체 }}}$

94, 98, 02, 14-1, 15-2, 19-1, 19-2

$\alpha ''={\frac {l}{S}}\rho ''\qquad \left(\because {\frac {\alpha ''}{\rho ''}}={\frac {l}{S}}\right)$

• S : 수평거리
• l : 위치오차

각 측량기의 구조

86

각 측량기의 축과 원. 축은 연직축(Vertical axis), 수평축(Horizontal axis), 시준축(Sight axis) 세 가지로 이루어져 있다. 원은 연직각(Vertical angle)을 측정할 수 있는 연직 분도원(Vertical Circle), 수평각(Horizontal angle)을 측정할 수 있는 수평 분도원(Horizontal circle) 두 가지로 이루어진다.

수준기축(기포관축) ㅗ 수직축

시준선축 ㅗ 수평축

수평축 ㅗ 수직축

각 측량기 정오차 원인 및 처리 방법

오차 종류	원인	처리 방법
시준축 오차(c)	시준축과 수평축이 직교하지 않음	망원경을 정, 반위로 관측하여 평균♣♣
외심오차(시준축의 편심오차)	회전축에 대해 망원경의 위치가 편심되어 있음. (시준선이 기계 중심을 통과하지 않음)
수평축 오차(i)	수평축이 연직축에 직교하지 않음
연직축 오차(v)	연직축이 정확히 연직선에 있지 않음	연직축과 수평기포축과의 직교 조정 정반의 관측으로는 제거되지 않음.
내심 오차 (회전축의 편심오차) (92, 97, 99)	기계 제작 결함. 시준기의 회전축과 분도원의 중심이 불일치	180도 차이가 있는 2개의 독표를 읽어 평균을 취한다.
분도원의 눈금오차	눈금의 부정확	읽은 분도원의 위치를 변화시켜 관측횟수를 많이하여 평균
측점 또는 시준축 편심에 의한 오차	측점의 중심과 기계의 중심 및 측표의 중심이 동일 연직선에 있지 않음	편심거리와 편심각을 측정하여 편심보정한다.

참고자료

• 이재기 외 (2013). 〈270〉. 《측량학1》. 형설출판사. 
• 최용기, 박기용 (2015). 《토목기사 필기 측량학》. 성안당. 5-9쪽. 

수평각 측정 및 조정

• 조합각 관측법 : 수평각 관측법 중 가장 정확. 삼각측량에 이용됨(15-1)

조정

각 측정의 조건 ♣♣ 14-2

• 각 조건식 : 삼각망 중 삼각형 내각의 합은 180도
• 점 조건식 : 하나의 측점 주위에 있는 모든 각의 합은 360도 (19-2)
• 변 조건식 : 삼각망 중에서 임의 한 변의 길이는 계산 순서에 관계없이 동일해야 한다.

조건방정식 수

	단열 삼각망	사변형 삼각망	유심 다각망
각 조건	삼각형 수	사각형 당 3개 (사변형 중앙 두 맞꼭지각, 내각의 합이 360도)	삼각형 수
변 조건	기선 수 1
점 조건	-	-	1개

표차

13-3

조정각이 α라 하면

$\log \sin \alpha -\log \sin(\alpha -1'')$

귀심

기계 편심 보정

♣♣♣삼각함수 계산문제. 외울 필요 없이 어렵지 않게 나옴. 13-1, 19-3

기계의 위치, 영구표지의 위치, 측표의 위치는 정확히 연직선 상에 놓여야 편심에 의한 오차가 생기지 않는다. 그러나 실제 삼각측량을 하다보면 종종 현장 여건때문에 측표를 영구표지로부터 편심거리 e만큼 떨어뜨려 설치해야 하는 경우가 있다. 예를 들어 A점이 정확한 영구표지가 있는 점이라고 하고, B, C점에서 A점을 관측할 수 없어 P점에 측표를 세웠다고 할 경우, 편심 보정은 다음 과정으로 실시한다.

$\alpha '+\beta '+\gamma '=\alpha +\beta +\gamma =180^{\circ }$

$\alpha '+\beta '-\beta =\alpha +\gamma -\gamma '$

$\alpha '+\delta _{\beta }=\alpha +\delta _{\gamma }$

$\alpha '=\alpha +\delta _{\gamma }-\delta _{\beta }$

여기서 α는 기지값, δ_β, δ_γ는 미소한 값이므로, ${\overline {PB}}=l_{B},{\overline {CP}}=l_{C}$라 할 수 있고 사인법칙에 의해

$\delta _{\beta }=\sin(360-\varphi ){\frac {e}{l_{B}}}\rho ''$

$\delta _{\gamma }=\sin(360-\varphi +\alpha ){\frac {e}{l_{C}}}\rho ''$

$\therefore \alpha '=\alpha +\sin(360-\varphi +\alpha ){\frac {e}{l_{C}}}\rho ''-\sin(360-\varphi ){\frac {e}{l_{B}}}\rho ''$

시준점 편심 보정

14-1 사인, 코사인법칙 쓰는 문제

1. 사인법칙을 이용해 이동으로 발생하는 삼각형에서 삼각점의 회전각 x를 구한다.
2. 관측각에서 회전각을 빼서 수평각을 구한다.

${\frac {\sin x}{e}}={\frac {\sin(360-\phi )}{s}}$

$x=\sin ^{-1}\left({\frac {\sin(360-\phi )}{s}}\cdot e\right)$

$\alpha =\alpha '-x$

삼각측량 결과 처리

• 허용오차 이내인 경우
  • 경중률 같은 경우 : 등배분(19-2)
  • 경중률 다른 경우 : 경중률에 반비례 보정

• 허용오차 초과하는 경우 : 재측

• 삼각측량 성과표(16-4, 19-3)
  • 삼각점 등급, 번호, 명칭
  • 도엽명칭
  • 측참(기계점) 및 시준점
  • 방위각(방향각)
  • 진북 방향각
  • 평균 거리의 대수(log) : 타원체 면 상에 투영한 거리
  • 평면 직교 좌표
  • 위도, 경도(측지 경위도) : 위거, 경거가 아님. 이건 다각측량으로 구함
  • 삼각점의 표고

변장 계산

89, 15-1 기출

장애물로 인해 P, Q를 간접 거리 측량하였다. PQ의 거리는?

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풀이

사인법칙, 코사인법칙을 이용.

1. AP 거리(사인 법칙)

${\frac {AP}{\sin 31^{\circ }17'}}={\frac {AB}{\sin P}}$

$AP={\frac {\sin 31^{\circ }17'}{\sin P}}216.9$

$P=180^{\circ }-80^{\circ }6'-31^{\circ }17'=68^{\circ }37'$

$\therefore AP=120.96$

2. AQ 거리(사인 법칙)

${\frac {AQ}{\sin 80^{\circ }5'}}={\frac {AB}{\sin Q}}$

$AQ={\frac {\sin 80^{\circ }5'}{\sin 65^{\circ }24'}}216.9=234.99$

3. PQ 거리(코사인 2법칙)

$PQ={\sqrt {AP^{2}+AQ^{2}-2AP\cdot AQ\cos \angle PAQ}}=173.39m$

삼각 수준측량

간접수준측량 중 하나. 각, 거리를 관측하여 삼각법을 이용해 높이차를 간접 계산하는 것.

94, 19-3

• 산악지대에서는 삼각법을 사용해 간접수준측량하는 것이 직접수준측량보다 유리
• 연직각 관측은 빛의 굴절로 인해 생기는 오차를 없애기 위해 2점간 상호 동시관측이 바람직

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12-2, 17-4

A에 토탈스테이션을 설치하고 B점의 프리즘을 관측하였다. 기계고 1.7m, 고저각 +15도, 시준고 3.5m, 경사거리 2000m였다면 A, B 간 고저차는?

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${\begin{aligned}\Delta h&=1.7+2000sin15^{\circ }-3.5\\&=1.7+517.638-3.5\\&=515.838m\end{aligned}}$

97, 03 기출

A점에 전자파 거리 측정기(EDM)를 설치, B점에 프리즘을 설치하여 A에서 B를 보고 경사거리를 얻어 보정한 값이 165.360m 였다. A, B의 표고는 각각 447.401m, 445.389m이다. EDM 높이는 1.417m, B점 프리즘 높이는 1.615m이다. AB 간 수평거리는 얼마일까?

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풀이

EDM의 표고와 EDM에서 수평으로 프리즘쪽으로 그은 선이 프리즘으로부터의 연직선과 만나는 점의 높이는 같아야함을 이용한다.

EDM의 높이는 $447.401+1.417=448.818m$

이것과 같은 프리즘쪽의 높이는 $445.389+1.615+165.360\sin \alpha$

$448.818=445.389+1.615+165.360\sin \alpha$

$\alpha =37'47''$

수평거리는 $165.360\cos \alpha =165.35m$

삼변측량

• 단점 : 관측값에 비해 조건식이 적음.(15-2)

13-1

$c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cos C$