Rankine의 주동토압
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오른쪽 그림으로부터 유도됨.
Rankine의 주동토압계수(coefficient of Rankine's active earth pressure)
K
a
=
1
−
s
i
n
ϕ
1
+
s
i
n
ϕ
=
tan
2
(
45
∘
−
ϕ
2
)
{\displaystyle K_{a}={\frac {1-sin\phi }{1+sin\phi }}=\tan ^{2}\left(45^{\circ }-{\frac {\phi }{2}}\right)}
주동토압♣♣♣
σ
a
=
K
a
σ
v
−
2
c
K
a
=
K
a
γ
z
−
2
c
K
a
{\displaystyle {\begin{aligned}\sigma _{a}&=K_{a}\sigma _{v}-{\color {red}2}c{\sqrt {K_{a}}}\\&=K_{a}\gamma z-{\color {red}2}c{\sqrt {K_{a}}}\\\end{aligned}}}
점토인 경우라 c≠0이라 이렇게 나오는 것이고, 모래인 경우는 c = 0이므로 삼각형으로 나옴.
토압분포도는 사실 - 부호의 점착력 항에 의한 직사각형 분포 와, 흙 자체에 의한 삼각형 분포 토압(+)이 더해져서 생긴 것이다.
점성토 뒤채움일 때 많이 틀리니 연습할 것!!!
만약 점성토 조건만 있는 벽체가 아니라 위에 등분포하중까지 있는 점성토 조건인 경우, 인장균열 깊이를 구할 때 등분포하중에 의한 영향도 포함 시켜서 계산해야 한다!!!!
인장균열깊이
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= 점착고(cohesion height)
σa = 0인 점
z
c
=
2
c
γ
K
a
{\displaystyle z_{c}={\frac {2c}{\gamma {\sqrt {K_{a}}}}}}
점성토 뒤채움부에 인장균열이 발생하면 인장균열이 발생한 깊이까지는 더이상 인장력이 존재하지 않으므로 무시하고 그 깊이 이하의 토압분포만 고려한다. 토압분포도에서 위의 삼각형 부분 없다고 하고 계산하면 됨.
P
a
=
1
2
(
K
a
γ
H
−
2
c
K
a
)
(
H
−
2
c
γ
K
a
)
{\displaystyle P_{a}={\frac {1}{2}}(K_{a}\gamma H-2c{\sqrt {K_{a}}})\left(H-{\frac {2c}{\gamma {\sqrt {K_{a}}}}}\right)}
인장균열 발생 전의 전주동토압 작용점을 계산하려면 삼각형 분포의 주동토압에서 구한 전주동토압 및 작용점, 사각형 분포의 인장력에서 구한 합력 및 작용점, 둘을 합친 전주동토압을 가지고, 전주동토압 작용점을 미지수로 놓고 w:바리뇽의 정리 를 이용하면 된다. 즉 아래처럼 계산하면 됨.[2]
P
a
z
¯
=
P
a
1
z
1
−
P
a
2
z
2
{\displaystyle P_{a}{\bar {z}}=P_{a1}z_{1}-P_{a2}z_{2}}
예제 - 인장균열 발생 시 주동토압 계산 - 등분포 하중 있을 때
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인장균열 발생 시 주동토압 오른쪽 그림처럼 마찰이 없는 옹벽이 있다. 인장균열이 발생한 뒤의 주동토압, 합력 작용점을 계산하시오.[3]
H = 4m
q = 10kN/m2
γ = 15kN/m3
ϕ
′
=
26
∘
{\displaystyle \phi '=26^{\circ }}
c' = 8kN/m2 인장균열 발생 시 주동토압
인장균열깊이부터 구한다.
σ
a
=
K
a
q
+
K
a
γ
z
−
2
c
K
a
=
0.39
×
10
+
0.39
×
15
×
z
−
2
×
8
0.39
=
0
{\displaystyle {\begin{aligned}\sigma _{a}&=K_{a}q+K_{a}\gamma {\color {red}z}-2c{\sqrt {K_{a}}}\\&=0.39\times 10+0.39\times 15\times {\color {red}z}-2\times 8{\sqrt {0.39}}\\&=0\\\end{aligned}}}
z = 1.041m
인장균열깊이 이하의 토압분포만을 고려하여 토압 합력을 구한다. 그림에서 빗금 친 부분.
P
a
=
1
2
(
K
a
q
+
K
a
γ
H
−
2
c
K
a
)
(
H
−
z
)
=
25.607
k
N
/
m
{\displaystyle {\begin{aligned}P_{a}&={\frac {1}{2}}(K_{a}q+K_{a}\gamma {\color {red}H}-2c{\sqrt {K_{a}}})(H-z)\\&=25.607kN/m\\\end{aligned}}}
합력의 작용점은 분포도 나눠서 모멘트 합 구하는 게 아님!! 합쳐진 토압분포도 에서 인장균열깊이 이하 토압의 무게중심 점! 즉,
4
−
1.041
3
=
0.986
m
{\displaystyle {\frac {4-1.041}{3}}=0.986m}
2zc
이 깊이까지 굴착하면 흙이 자립할 수 있다.
파괴면 각도
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뒤채움 흙의 폭이
H
cot
(
45
∘
+
ϕ
2
)
{\displaystyle H\cot \left(45^{\circ }+{\frac {\phi }{2}}\right)}
σ
a
=
K
a
γ
z
−
2
c
K
a
{\displaystyle \sigma _{a}=K_{a}\gamma z-2c{\sqrt {K_{a}}}}
수평면과 파괴면의 각도는
θ
=
45
∘
+
ϕ
2
{\displaystyle \theta =45^{\circ }{\color {red}+}{\frac {\phi }{2}}}
토압계수랑 다르게 부호 +다!!! 주동토압일 때 뒤채움 흙의 파괴면 을 생각해보면 알 수 있다.
Rankine의 수동토압
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Rankine의 수동토압계수(coefficient of Rankine's passive earth pressure)
K
p
=
1
+
s
i
n
ϕ
1
−
s
i
n
ϕ
=
tan
2
(
45
∘
+
ϕ
2
)
{\displaystyle K_{p}={\frac {1+sin\phi }{1-sin\phi }}=\tan ^{2}\left(45^{\circ }+{\frac {\phi }{2}}\right)}
수동토압
σ
p
=
K
p
σ
v
+
2
c
K
p
=
K
p
γ
z
+
2
c
K
p
{\displaystyle {\begin{aligned}\sigma _{p}&=K_{p}\sigma _{v}+2c{\sqrt {K_{p}}}\\&=K_{p}\gamma z+2c{\sqrt {K_{p}}}\\\end{aligned}}}
파괴면 각도
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수평면과 파괴면의 각도는
θ
=
45
∘
−
ϕ
2
{\displaystyle \theta =45^{\circ }-{\frac {\phi }{2}}}
토압계수 간 관계
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K
a
⋅
K
p
=
1
{\displaystyle K_{a}\cdot K_{p}=1}
Rankine 응력경로
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K0 선 기울기
β
=
q
p
=
1
−
K
0
1
+
K
0
{\displaystyle \beta ={\frac {q}{p}}={\frac {1-K_{0}}{1+K_{0}}}}
초기응력(정지토압 상태) : A점
p
=
(
1
+
K
0
)
σ
v
2
,
q
=
(
1
−
K
0
)
σ
v
2
{\displaystyle p={\frac {(1+K_{0})\sigma _{v}}{2}},\quad q={\frac {(1-K_{0})\sigma _{v}}{2}}}
주동토압 : C점
p
=
σ
v
+
σ
a
2
=
(
1
+
K
a
)
σ
v
2
,
q
=
σ
v
+
σ
a
2
=
(
1
−
K
a
)
σ
v
2
{\displaystyle p={\frac {\sigma _{v}+\sigma _{a}}{2}}={\frac {(1+K_{a})\sigma _{v}}{2}},\quad q={\frac {\sigma _{v}+\sigma _{a}}{2}}={\frac {(1-K_{a})\sigma _{v}}{2}}}
1사분면 Kf 선 기울기
tan
α
=
1
−
K
a
1
+
K
a
{\displaystyle \tan \alpha ={\frac {1-K_{a}}{1+K_{a}}}}
수동토압 : B점
p
=
σ
v
+
σ
p
2
=
(
1
+
K
p
)
σ
v
2
,
q
=
σ
v
−
σ
p
2
=
(
1
−
K
p
)
σ
v
2
{\displaystyle p={\frac {\sigma _{v}+\sigma _{p}}{2}}={\frac {(1+K_{p})\sigma _{v}}{2}},\quad q={\frac {\sigma _{v}-\sigma _{p}}{2}}={\frac {(1-K_{p})\sigma _{v}}{2}}}
4사분면 Kf 선 기울기
−
tan
α
=
1
−
K
p
1
+
K
p
{\displaystyle -\tan \alpha ={\frac {1-K_{p}}{1+K_{p}}}}
비포화 모래지반에서의 Rankine 토압
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지표가 수평이고, i=0, c=0인 경우 옹벽에 작용하는 토압은 다음과 같다.
주동토압
P
a
=
1
2
γ
H
K
a
×
H
=
1
2
γ
H
2
K
a
{\displaystyle P_{a}={\frac {1}{2}}\gamma HK_{a}\times H={\frac {1}{2}}\gamma H^{2}K_{a}}
수동토압
P
p
=
1
2
γ
H
K
p
×
H
=
1
2
γ
H
2
K
p
{\displaystyle P_{p}={\frac {1}{2}}\gamma HK_{p}\times H={\frac {1}{2}}\gamma H^{2}K_{p}}
작용점
y
=
H
3
{\displaystyle y={\frac {H}{3}}}
등분포 상재하중이 있을 때 Rankine 토압
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지표가 수평이고, i=0, c=0이며 등분포 하중 q가 작용하는 경우 옹벽에 작용하는 토압은 다음과 같다.
주동토압
P
a
=
1
2
γ
H
K
a
×
H
+
q
K
a
H
=
1
2
γ
H
2
K
a
+
q
K
a
H
{\displaystyle P_{a}={\frac {1}{2}}\gamma HK_{a}\times H+qK_{a}H={\frac {1}{2}}\gamma H^{2}K_{a}+qK_{a}H}
수동토압
P
p
=
1
2
γ
H
K
p
×
H
+
q
K
p
H
=
1
2
γ
H
2
K
p
+
q
K
p
H
{\displaystyle P_{p}={\frac {1}{2}}\gamma HK_{p}\times H+qK_{p}H={\frac {1}{2}}\gamma H^{2}K_{p}+qK_{p}H}
뒤채움이 여러 층인 경우 Rankine 토압
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지하수위가 있을 때 Rankine 토압
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지표면 경사가 있을 때 Rankine 토압
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암기. 부호가 - 인 곳을 유심히 보고 외울 것. 앞에 제곱 없는 거 계속 제곱 있다고 잘못 외우네.
K
a
=
cos
β
cos
β
−
(
cos
2
β
−
cos
2
ϕ
)
1
/
2
cos
β
+
(
cos
2
β
−
cos
2
ϕ
)
1
/
2
{\displaystyle K_{a}=\cos \beta {\frac {{\color {red}\cos \beta }-\left(\cos ^{2}\beta -\cos ^{2}\phi \right)^{1/2}}{{\color {red}\cos \beta }+\left(\cos ^{2}\beta -\cos ^{2}\phi \right)^{1/2}}}}
K
p
=
cos
β
cos
β
+
(
cos
2
β
−
cos
2
ϕ
)
1
/
2
cos
β
−
(
cos
2
β
−
cos
2
ϕ
)
1
/
2
{\displaystyle K_{p}=\cos \beta {\frac {{\color {red}\cos \beta }+\left(\cos ^{2}\beta -\cos ^{2}\phi \right)^{1/2}}{{\color {red}\cos \beta }-\left(\cos ^{2}\beta -\cos ^{2}\phi \right)^{1/2}}}}
주동토압 합력은 경사와 평행하게 작용.
뒤채움 흙이 경사진 경우 파괴면이 수평면과 이루는 각도를 구하시오.
6m 깊이에서
O
A
=
σ
v
=
γ
z
cos
β
=
18
×
6
cos
20
∘
=
101
k
N
/
m
2
{\displaystyle {\begin{aligned}OA&=\sigma _{v}=\gamma z\cos \beta \\&=18\times 6\cos 20^{\circ }\\&=101kN/m^{2}\\\end{aligned}}}
O
B
′
=
σ
a
=
K
a
γ
H
=
0.25
×
18
×
6
=
27
k
N
/
m
2
{\displaystyle {\begin{aligned}OB'&=\sigma _{a}=K_{a}\gamma H\\&=0.25\times 18\times 6\\&=27kN/m^{2}\end{aligned}}}
삼각함수를 이용해 A, B'점의 좌표를 알아낸다.
A(94.909, 34.544)
B'(25.372, 9.235)
원의 방정식을 세우고, A, B' 두 점을 이용해 방정식의 미지수 두 개를 구한다.
(
σ
−
a
)
2
+
τ
2
=
r
2
{\displaystyle (\sigma -a)^{2}+\tau ^{2}=r^{2}}
(
94.909
−
a
)
2
+
34.544
2
=
r
2
{\displaystyle (94.909-a)^{2}+34.544^{2}=r^{2}}
(
25.372
−
a
)
2
+
9.235
2
=
r
2
{\displaystyle (25.372-a)^{2}+9.235^{2}=r^{2}}
연립하면 a = 68.108, r = 43.722
OF 길이는 직각삼각형 OCF에서 삼각함수를 이용한다.
OF = 52.174
F(39.967, 33.537)
B'F = 28.348
사인법칙을 이용해 β 계산
28.348
sin
20
∘
=
52.174
sin
β
{\displaystyle {\frac {28.348}{\sin 20^{\circ }}}={\frac {52.174}{\sin \beta }}}
β
=
141
∘
{\displaystyle \beta =141^{\circ }}
따라서 수평면과 파괴면이 이루는 각은 20 + 39 = 59도이다.
모어원의 아래쪽에도 파괴포락선과 모어원이 닿는 부분이 있다. 이 역시 같은 방법으로 구한다.
수평면과 파괴면이 이루는 각은 71도이다.
