포털:고등학교/수학/수학 Ⅰ(2007 개정)/연립일차방정식과 행렬

행렬로 나타낸 연립일차방정식

미지수가 2개인 연립일차방정식을 행렬을 이용하여 나타내어 보겠습니다.

미지수 $x,y$에 대한 연립일차방정식

${\begin{cases}ax+by=p\\cx+dy=q\end{cases}}$

를 행렬을 이용하여 나타내면 다음과 같습니다.

${\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}p\\q\end{pmatrix}}$

이때 $A={\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}},\ X={\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}},\ B={\begin{pmatrix}p\\q\end{pmatrix}}$로 놓으면

$AX=B$

입니다. 따라서 주어진 연립일차방정식의 해를 구하는 것은 $AX=B$를 만족시키는 행렬 $X$를 구하는 것과 같습니다.

행렬을 이용한 연립일차방정식의 풀이

미지수 $x,y$에 대한 연립일차방정식

${\begin{cases}ax+by=p\\cx+dy=q\end{cases}}\ \cdots \cdots \left(1\right)$

을 행렬을 이용하여 풀어 보겠습니다.

$A={\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}},\ X={\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}},\ B={\begin{pmatrix}p\\q\end{pmatrix}}$로 놓으면

${\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}p\\q\end{pmatrix}}$

이므로 연립일차방정식 $\left(1\right)$을

$AX=B\ \cdots \cdots \left(2\right)$

와 같이 나타낼 수 있습니다.

① $A$의 역행렬이 존재하는 경우, 즉 $ad-bc\neq 0$일 때

등식 $\left(2\right)$의 양변의 왼쪽에 $A^{-1}$를 곱하면 다음과 같습니다.

$A^{-1}AX=A^{-1}B\Leftrightarrow X=A^{-1}B$

따라서 연립일차방정식 $\left(1\right)$은 다음과 같은 단 한 쌍의 해를 갖습니다.

${\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}^{-1}{\begin{pmatrix}p\\q\end{pmatrix}}$

② $A$의 역행렬이 존재하지 않는 경우, 즉 $ad-bc=0$일 때

1. ${\frac {a}{c}}={\frac {b}{d}}={\frac {p}{q}}$이면 연립일차방정식 $\left(1\right)$의 해가 무수히 많습니다.
2. ${\frac {a}{c}}={\frac {b}{d}}\neq {\frac {p}{q}}$이면 연립일차방정식 $\left(1\right)$의 해가 없습니다.

이상을 정리하면 다음과 같습니다.

역행렬을 이용한 연립일차방정식의 풀이 미지수 $x,y$에 대한 연립일차방정식 ${\begin{cases}ax+by=p\\cx+dy=q\end{cases}}$는 ① $ad-bc\neq 0$일 때, 단 한 쌍의 해를 갖고 그 해는 ${\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}^{-1}{\begin{pmatrix}p\\q\end{pmatrix}}$ ② $ad-bc=0$일 때, 해가 무수히 많거나 해가 없습니다.