포털:고등학교/수학/수학 Ⅰ(2007 개정)/이차 정사각행렬의 역행렬

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학습 목표: 이차 정사각행렬의 역행렬을 구할 수 있다.

이차 정사각행렬의 역행렬

이차 정사각행렬 $A={\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}$의 역행렬이 존재하기 위한 필요충분조건과 그 역행렬을 구하는 방법을 알아보겠습니다.

행렬 $A={\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}$의 역행렬 $X={\begin{pmatrix}x&y\\z&w\end{pmatrix}}$를 가진다고 가정하면 $AX=E$이므로

${\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x&y\\z&w\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}ax+bz&ay+bw\\cx+dz&cy+dw\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}$

입니다. 따라서 두 행렬이 서로 같을 조건으로부터 다음 두 연립방정식을 얻습니다.

${\begin{cases}ax+bz=1\ &\cdots \cdots \left(1\right)\\cx+dz=0&\cdots \cdots \left(2\right)\end{cases}},\ {\begin{cases}ay+bw=0\ &\cdots \cdots \left(3\right)\\cy+dw=1&\cdots \cdots \left(4\right)\end{cases}}$

$\left(1\right),\left(2\right)$에서

$(ad-bc)x=d\ \cdots \cdots \left(5\right),\ (ad-bc)z=-c\ \cdots \cdots \left(6\right)$

$\left(3\right),\left(4\right)$에서

$(ad-bc)y=-b\ \cdots \cdots \left(7\right),\ (ad-bc)w=a\ \cdots \cdots \left(8\right)$

그런데 $ad-bc=0$이면 $\left(5\right),\left(6\right),\left(7\right),\left(8\right)$에서 $a=b=c=d=0$이므로 $A=O$가 되어 $AX=E$일 수 없습니다. 따라서 $ad-bc\neq 0$입니다. 이때 $\left(5\right),\left(6\right),\left(7\right),\left(8\right)$에서

$x={\frac {d}{ad-bc}},\ y={\frac {-b}{ad-bc}},\ z={\frac {-c}{ad-bc}},\ w={\frac {a}{ad-bc}}$

입니다. 따라서 행렬 $A$의 역행렬 $X$는 다음과 같습니다.

$X={\frac {1}{ad-bc}}{\begin{pmatrix}d&-b\\-c&a\end{pmatrix}}$

역으로 $ad-bc\neq 0$이면 행렬 $X={\frac {1}{ad-bc}}{\begin{pmatrix}d&-b\\-c&a\end{pmatrix}}$에 대하여 $AX=XA=E$이므로, 행렬 $X$는 행렬 $A$의 역행렬입니다.

이상을 정리하면 다음과 같습니다.

이차 정사각행렬의 역행렬 행렬 $A={\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}$에 대하여 ① $ad-bc\neq 0$일 때, $A$의 역행렬이 존재하고 $A^{-1}={\frac {1}{ad-bc}}{\begin{pmatrix}d&-b\\-c&a\end{pmatrix}}$ ② $ad-bc=0$일 때, $A$의 역행렬이 존재하지 않습니다.

정사각행렬 $A$의 역행렬 $A^{-1}$가 존재할 때,

$AA^{-1}=A^{-1}A=E$

이므로 $A^{-1}$의 역행렬이 $A$임을 알 수 있습니다. 즉

$(A^{-1})^{-1}=A$

입니다. 또 두 정사각행렬 $A,B$의 역행렬 $A^{-1},B^{-1}$가 존재할 때,

$(AB)(B^{-1}A^{-1})=A(BB^{-1})A^{-1}=AEA^{-1}=AA^{-1}=E$

$(B^{-1}A^{-1})(AB)=B^{-1}(AA^{-1})B=AEA^{-1}=B^{-1}B=E$

이므로 $AB$의 역행렬이 $B^{-1}A^{-1}$임을 알 수 있습니다. 즉

$(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}$

입니다.

이상을 정리하면 다음과 같습니다.

역행렬의 성질 두 정사각행렬 $A,B$의 역행렬 $A^{-1},B^{-1}$가 존재할 때, ① $(A^{-1})^{-1}=A$ ② $(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}$