포털:고등학교/수학/수학 Ⅰ(2007 개정)/이차 정사각행렬의 역행렬

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학습 목표: 이차 정사각행렬의 역행렬을 구할 수 있다.

이차 정사각행렬의 역행렬 편집

이차 정사각행렬  의 역행렬이 존재하기 위한 필요충분조건과 그 역행렬을 구하는 방법을 알아보겠습니다.

행렬  의 역행렬  를 가진다고 가정하면  이므로

 

입니다. 따라서 두 행렬이 서로 같을 조건으로부터 다음 두 연립방정식을 얻습니다.

 

 에서

 

 에서

 

그런데  이면  에서  이므로  가 되어  일 수 없습니다. 따라서  입니다. 이때  에서

 

입니다. 따라서 행렬  의 역행렬  는 다음과 같습니다.

 

역으로  이면 행렬  에 대하여  이므로, 행렬  는 행렬  의 역행렬입니다.

이상을 정리하면 다음과 같습니다.


이차 정사각행렬의 역행렬

행렬  에 대하여

 일 때,  의 역행렬이 존재하고

 

 일 때,  의 역행렬이 존재하지 않습니다.


정사각행렬  의 역행렬  가 존재할 때,

 

이므로  의 역행렬이  임을 알 수 있습니다. 즉

 

입니다. 또 두 정사각행렬  의 역행렬  가 존재할 때,

 
 

이므로  의 역행렬이  임을 알 수 있습니다. 즉

 

입니다.[1][2]

이상을 정리하면 다음과 같습니다.[3][4][5]


역행렬의 성질

두 정사각행렬  의 역행렬  가 존재할 때,

 

 


참고 편집

  1.  임에 유의하시기 바랍니다.
  2. 세 정사각행렬  의 역행렬  가 모두 존재할 때,
     
  3. 역행렬이 존재하는 정사각행렬  와 임의의 자연수  에 대하여
     
  4. 역행렬이 존재하는 정사각행렬   이 아닌 임의의 실수  에 대하여
     
  5. 역행렬이 존재하는 두 정사각행렬  와 임의의 자연수  에 대하여