포털:고등학교/수학/수학 Ⅰ(2007 개정)/행렬과 그 연산

행렬의 뜻

두 다항식 $A=2x^{2}-5x-3,\ B=y-1$ 은 다음과 같이 계수만을 직사각형 모양으로 나타낼 수 있습니다.

{\begin{matrix}2&-5&-3\\0&1&-1\end{matrix}}

이때 계수를 가로로 배열한 줄은 위에서부터 차례로 다항식 $A,B$ 를 나타내고, 계수를 세로로 배열한 줄에 있는 수는 왼쪽에서부터 차례로 해당되는 다항식의 이차항, 일차항, 상수항의 계수입니다.

또 ${\mbox{A}},{\mbox{B}}$ 두 과일 가게에서 판매되는 사과 10 kg의 가격이 각각 22000원, 24000원이고, 배 10 kg의 가격이 각각 25000원, 27500원일 때, 이것을 다음과 같이 과일 가격을 직사각형 모양으로 배열하고 괄호로 묶어 나타낼 수 있습니다.

{\begin{pmatrix}22000&24000\\25000&27500\end{pmatrix}}

이와 같이 수 또는 문자를 직사각형 모양으로 배열하여 괄호로 묶은 것을 행렬이라고 하며, 행렬을 이루는 각각의 수 또는 문자를 그 행렬의 성분이라고 합니다.^[1]^[2]

행렬에서 성분을 가로로 배열한 줄을 행이라고 하며, 위에서부터 차례로 제1행, 제2행, 제3행, ⋯이라고 합니다. 또 성분을 세로로 배열한 줄을 열이라고 하며, 왼쪽에서부터 차례로 제1열, 제2열, 제3열, ⋯이라고 합니다.^[3]

한편 $m$ 개의 행과 $n$ 개의 열로 이루어진 행렬을 $m\times n$ 행렬이라고 합니다.^[4] 특히 행의 개수와 열의 개수가 서로 같은 행렬을 정사각행렬이라고 하며, $n\times n$ 행렬을 $n$ 차 정사각행렬이라고 합니다.^[5]

행렬은 알파벳 대문자 $A,B,C,\cdots$ 로 나타내고, 행렬의 성분은 알파벳 소문자 $a,b,c,\cdots$ 로 나타냅니다. 또 행렬 $A$ 에서 제 $i$ 행과 제 $j$ 열이 만나는 위치에 있는 성분을 행렬 $A$ 의 $(i,j)$ 성분이라고 하며, 이것을 기호로

a_{ij}

와 같이 나타냅니다. 예를 들어 $2\times 3$ 행렬 $A$ 를 기호 $a_{ij}$ 를 사용하여 나타내면 다음과 같습니다.

A={\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\end{pmatrix}}

두 행렬 $A,B$ 의 행의 개수와 열의 개수가 각각 같을 때, $A$ 와 $B$ 는 같은 꼴이라고 합니다. 같은 꼴인 두 행렬 $A,B$ 의 대응하는 성분이 각각 같을 때, $A$ 와 $B$ 는 서로 같다고 하며, 이것을 기호로

A=B

와 같이 나타냅니다.^[6] 예를 들어 $2\times 2$ 행렬이 서로 같을 조건은 다음과 같습니다.^[7]

두 행렬이 서로 같을 조건

$A={\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{pmatrix}},\ B={\begin{pmatrix}b_{11}&b_{12}\\b_{21}&b_{22}\end{pmatrix}}$ 일 때,

A=B\Leftrightarrow {\begin{cases}a_{11}=b_{11},&a_{12}=b_{12}\\a_{21}=b_{21},&a_{22}=b_{22}\end{cases}}

행렬의 덧셈, 뺄셈의 뜻과 그 연산

같은 꼴인 두 행렬 $A,B$ 에 대하여 $A$ 와 $B$ 의 대응하는 성분의 합을 성분으로 하는 행렬을 $A$ 와 $B$ 의 합이라고 하며, 이것을 기호로

A+B

와 같이 나타냅니다.^[8] 예를 들어 $2\times 2$ 행렬의 덧셈은 다음과 같습니다.^[9]

행렬의 덧셈

$A={\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{pmatrix}},\ B={\begin{pmatrix}b_{11}&b_{12}\\b_{21}&b_{22}\end{pmatrix}}$ 일 때,

A+B={\begin{pmatrix}a_{11}+b_{11}&a_{12}+b_{12}\\a_{21}+b_{21}&a_{22}+b_{22}\end{pmatrix}}

실수의 덧셈에서 교환법칙과 결합법칙이 성립하는 것과 마찬가지로, 행렬의 덧셈에서도 다음과 같은 성질이 성립합니다.

행렬의 덧셈에 대한 성질 ⑴

같은 꼴인 세 행렬 $A,B,C$ 에 대하여

① $A+B=B+A$	(교환법칙)
② $(A+B)+C=A+(B+C)$	(결합법칙)^[10]

모든 성분이 $0$ 인 행렬을 영행렬이라고 합니다.^[11] 예를 들어

{\begin{pmatrix}0&0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}}

은 모두 영행렬입니다. 영행렬은 각 꼴에 대하여 하나씩 있으나, 혼동의 염려가 없을 때에는 보통 기호 $O$ 로 나타냅니다. 행렬 $A$ 와 영행렬 $O$ 가 같은 꼴일 때,

A+O=O+A=A

가 성립함을 알 수 있습니다. 즉 영행렬은 같은 꼴의 행렬의 집합에서 덧셈에 대한 항등원입니다. 또 행렬 $A$ 의 모든 성분의 부호를 바꾼 행렬을 $-A$ 와 같이 나타냅니다. 예를 들어

A={\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{pmatrix}}

일 때,

-A={\begin{pmatrix}-a_{11}&-a_{12}\\-a_{21}&-a_{22}\end{pmatrix}}

입니다. 이때 행렬의 덧셈의 정의에 의하여 행렬 $A$ 와 영행렬 $O$ 가 같은 꼴일 때,

A+(-A)=(-A)+A=O

가 성립함을 알 수 있습니다. 따라서 행렬 $-A$ 는 같은 꼴의 행렬의 집합에서 행렬 $A$ 의 덧셈에 대한 역원입니다.

이상을 정리하면 다음과 같습니다.

행렬의 덧셈에 대한 성질 ⑵

같은 꼴인 행렬 $A$ 와 영행렬 $O$ 에 대하여

③ $A+O=O+A=A$	( $O$ 는 덧셈에 대한 항등원)
④ $A+(-A)=(-A)+A=O$	( $-A$ 는 $A$ 의 덧셈에 대한 역원)

같은 꼴의 두 행렬 $A,B$ 에 대하여 $A$ 에 $B$ 의 덧셈에 대한 역원 $-B$ 를 더한 $A+(-B)$ 를 기호로

A-B

와 같이 나타내고, 이것을 행렬 $A$ 에서 행렬 $B$ 를 뺀 차라고 합니다.^[12]^[13] 이때 $A-B$ 는 행렬 $A$ 의 각 성분에서 그에 대응하는 행렬 $B$ 의 성분을 뺀 차를 성분으로 하는 행렬임을 알 수 있습니다. 예를 들어 $2\times 2$ 행렬의 뺄셈은 다음과 같습니다.^[14]

행렬의 뺄셈

$A={\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{pmatrix}},\ B={\begin{pmatrix}b_{11}&b_{12}\\b_{21}&b_{22}\end{pmatrix}}$ 일 때,

A-B={\begin{pmatrix}a_{11}-b_{11}&a_{12}-b_{12}\\a_{21}-b_{21}&a_{22}-b_{22}\end{pmatrix}}

한편 같은 꼴의 세 행렬 $A,B,X$ 에 대하여

X+A=B

가 성립할 때, 이 등식의 양변에 행렬 $A$ 의 덧셈의 역원 $-A$ 를 더하여 간단히 하면 다음 결과를 얻습니다.^[15]

{\begin{aligned}X+A=B&\Leftrightarrow X+A+(-A)=B+(-A)\\&\Leftrightarrow X+O=B-A\\&\Leftrightarrow X=B-A\end{aligned}}

따라서 행렬의 덧셈과 뺄셈으로 이루어진 등식은 다항식의 덧셈과 뺄셈으로 이루어진 등식과 같이 이항을 이용하여 계산할 수 있습니다.

행렬의 실수배의 뜻과 그 연산

임의의 실수 $k$ 에 대하여 행렬 $A$ 의 각 성분을 $k$ 배한 것을 성분으로 하는 행렬을 행렬 $A$ 의 $k$ 배라고 하며, 이것을 기호로 $kA$ 와 같이 나타냅니다. 예를 들어 $2\times 2$ 행렬의 실수배는 다음과 같습니다.^[16]

행렬의 실수배

$A={\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{pmatrix}}$ 와 실수 $k$ 에 대하여 $kA={\begin{pmatrix}ka_{11}&ka_{12}\\ka_{21}&ka_{22}\end{pmatrix}}$

행렬 $A$ 와 영행렬 $O$ 가 같은 꼴이고 $k$ 가 실수일 때, 행렬의 실수배의 정의에 의하여 다음이 성립함을 알 수 있습니다.^[17]

1A=A,\ (-1)A=A,\ 0A=O,\ kO=O

행렬의 실수배에 대하여 다음과 같은 성질이 성립합니다.

행렬의 실수배에 대한 성질

같은 꼴의 두 행렬 $A,B$ 와 두 실수 $k,l$ 에 대하여

①

(kl)A=k(lA)

②

(k+l)A=kA+lA,\ k(A+B)=kA+kB

행렬의 곱셈의 뜻과 그 연산

두 행렬 $A,B$ 에 대하여 행렬 $A$ 의 열의 개수와 행렬 $B$ 의 행의 개수가 같을 때, 행렬 $A$ 의 제 $i$ 행의 성분과 행렬 $B$ 의 제 $j$ 열의 성분을 각각 차례로 곱하여 더한 값을 $(i,j)$ 성분으로 하는 행렬을 두 행렬 $A,B$ 의 곱이라고 하며, 이것을 기호로

AB

와 같이 나타냅니다.^[18] 이때 행렬 $A$ 가 $m\times l$ 행렬이고 행렬 $B$ 가 $l\times n$ 행렬이면 행렬 $AB$ 는 $m\times n$ 행렬입니다. 예를 들어 $2\times 2$ 행렬의 덧셈은 다음과 같습니다.^[19]

행렬의 곱셈

$A={\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{pmatrix}},\ B={\begin{pmatrix}b_{11}&b_{12}\\b_{21}&b_{22}\end{pmatrix}}$ 일 때,

AB={\begin{pmatrix}a_{11}b_{11}+a_{12}b_{21}&a_{11}b_{12}+a_{12}b_{22}\\a_{21}b_{11}+a_{22}b_{21}&a_{21}b_{12}+a_{22}b_{22}\end{pmatrix}}

한편 수의 거듭제곱과 마찬가지로 정사각행렬 $A$ 에 대하여

A^{2}=AA,\ A^{3}=A^{2}A,\ A^{4}=A^{3}A,\ \cdots ,\ A^{n+1}=A^{n}A

와 같이 행렬의 거듭제곱을 정의합니다.^[20]^[21]^[22]

두 실수 $a,b$ 에 대하여 교환법칙 $ab=ba$ 가 성립함을 알고 있습니다. 그러나 두 행렬 $A={\begin{pmatrix}2&3\\-4&1\end{pmatrix}},\ B={\begin{pmatrix}0&-1\\2&1\end{pmatrix}}$ 에 대하여

AB={\begin{pmatrix}6&1\\2&5\end{pmatrix}},\ BA={\begin{pmatrix}4&-1\\0&7\end{pmatrix}}

이므로 : $AB\neq BA$ 입니다. 즉 행렬의 곱셈에서는 실수의 곱셈에서와는 달리 교환법칙이 성립하지 않습니다.

행렬의 곱셈에 대하여 다음과 같은 성질이 성립합니다.

행렬의 곱셈에 대한 성질

합과 곱이 정의되는 세 행렬 $A,B,C$ 와 실수 $k$ 에 대하여

① $(AB)C=A(BC)$	(결합법칙)^[23]
② $A(B+C)=AB+AC$	(분배법칙)
③ $k(AB)=(kA)B=A(kB)$

두 행렬 $A,B$ 에 대하여

(A+B)^{2}=A^{2}+AB+BA+B^{2}

입니다.^[24] 그런데 행렬의 곱셈에서는 교환법칙이 성립하지 않으므로 어떤 두 행렬 $A,B$ 에 대하여

(A+B)^{2}\neq A^{2}+2AB+B^{2}

입니다.

정사각행렬 $A$ 와 같은 꼴의 영행렬 $O$ 에 대하여

AO=OA=A

가 성립합니다.^[25] 그러나 같은 꼴의 정사각행렬 $A,B$ 에 대하여

A\neq O,\ B\neq O

이지만

AB=O

인 경우가 있습니다.^[26] 예를 들어 $A={\begin{pmatrix}2&3\\-4&-6\end{pmatrix}},\ B={\begin{pmatrix}9&-3\\-6&2\end{pmatrix}}$ 일 때, $A\neq O,\ B\neq O$ 이지만 $AB=O$ 입니다.

단위행렬의 뜻

실수의 집합에서 곱셈에 대한 항등원은 $1$ 입니다. 행렬의 집합에서 이와 같은 역할을 하는 행렬에 대하여 알아보겠습니다.

정사각행렬 중에서

{\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}}

과 같이 왼쪽 위에서 오른쪽 아래로 내려가는 대각선 위의 성분은 모두 $1$ 이고, 그 외의 성분은 모두 $0$ 인 정사각행렬을 단위행렬이라고 하며, 보통 기호 $E$ 로 나타냅니다.^[27]^[28]^[29]

두 행렬 $A={\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}$ 와 $E={\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}$ 에 대하여

AE={\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}=A,

EA={\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}=A

이므로 $AE=EA=A$ 가 성립함을 알 수 있습니다.

$E$ 가 $n$ 차 단위행렬일 때, 임의의 $n$ 차 정사각행렬 $A$ 에 대하여

AE=EA=A

가 성립합니다. 따라서 $n$ 차 단위행렬 $E$ 는 $n$ 차 정사각행렬의 집합에서 곱셈에 대한 항등원입니다.^[30]^[31]

역행렬의 뜻

실수의 연산에서 $0$ 이 아닌 임의의 실수 $a$ 에 대하여

ax=xa=1

을 만족시키는 실수 $x={\frac {1}{a}}$ 을 $a$ 의 곱셈에 대한 역원임을 알고 있습니다.

한편 두 행렬 $A={\begin{pmatrix}3&4\\1&1\end{pmatrix}},\ B={\begin{pmatrix}-1&4\\1&-3\end{pmatrix}}$ 에 대하여

AB={\begin{pmatrix}3&4\\1&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}-1&4\\1&-3\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}=E,

BA={\begin{pmatrix}-1&4\\1&-3\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}3&4\\1&1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}=E

이므로 $AB$ 와 $BA$ 를 계산한 결과가 모두 단위행렬 $E$ 임을 알 수 있습니다.

이와 같이 같은 꼴의 정사각행렬 $A$ 와 단위행렬 $E$ 에 대하여

AX=XA=E

를 만족시키는 행렬 $X$ 가 존재할 때, $X$ 를 $A$ 의 역행렬이라고 하며, 이것을 기호로

A^{-1}

와 같이 나타냅니다.^[32]^[33] 이때 역행렬의 정의에 의하여 다음이 성립합니다.^[34]

AA^{-1}=A^{-1}A=E

이차 정사각행렬의 역행렬

이차 정사각행렬 $A={\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}$ 의 역행렬이 존재하기 위한 필요충분조건과 그 역행렬을 구하는 방법을 알아보겠습니다.

행렬 $A={\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}$ 의 역행렬 $X={\begin{pmatrix}x&y\\z&w\end{pmatrix}}$ 를 가진다고 가정하면 $AX=E$ 이므로

{\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x&y\\z&w\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}ax+bz&ay+bw\\cx+dz&cy+dw\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}

입니다. 따라서 두 행렬이 서로 같을 조건으로부터 다음 두 연립방정식을 얻습니다.

{\begin{cases}ax+bz=1\ &\cdots \cdots \left(1\right)\\cx+dz=0&\cdots \cdots \left(2\right)\end{cases}},\ {\begin{cases}ay+bw=0\ &\cdots \cdots \left(3\right)\\cy+dw=1&\cdots \cdots \left(4\right)\end{cases}}

$\left(1\right),\left(2\right)$ 에서

(ad-bc)x=d\ \cdots \cdots \left(5\right),\ (ad-bc)z=-c\ \cdots \cdots \left(6\right)

$\left(3\right),\left(4\right)$ 에서

(ad-bc)y=-b\ \cdots \cdots \left(7\right),\ (ad-bc)w=a\ \cdots \cdots \left(8\right)

그런데 $ad-bc=0$ 이면 $\left(5\right),\left(6\right),\left(7\right),\left(8\right)$ 에서 $a=b=c=d=0$ 이므로 $A=O$ 가 되어 $AX=E$ 일 수 없습니다. 따라서 $ad-bc\neq 0$ 입니다. 이때 $\left(5\right),\left(6\right),\left(7\right),\left(8\right)$ 에서

x={\frac {d}{ad-bc}},\ y={\frac {-b}{ad-bc}},\ z={\frac {-c}{ad-bc}},\ w={\frac {a}{ad-bc}}

입니다. 따라서 행렬 $A$ 의 역행렬 $X$ 는 다음과 같습니다.

X={\frac {1}{ad-bc}}{\begin{pmatrix}d&-b\\-c&a\end{pmatrix}}

역으로 $ad-bc\neq 0$ 이면 행렬 $X={\frac {1}{ad-bc}}{\begin{pmatrix}d&-b\\-c&a\end{pmatrix}}$ 에 대하여 $AX=XA=E$ 이므로, 행렬 $X$ 는 행렬 $A$ 의 역행렬입니다.

이상을 정리하면 다음과 같습니다.

이차 정사각행렬의 역행렬

행렬 $A={\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}$ 에 대하여

① $ad-bc\neq 0$ 일 때, $A$ 의 역행렬이 존재하고

A^{-1}={\frac {1}{ad-bc}}{\begin{pmatrix}d&-b\\-c&a\end{pmatrix}}

② $ad-bc=0$ 일 때, $A$ 의 역행렬이 존재하지 않습니다.

정사각행렬 $A$ 의 역행렬 $A^{-1}$ 가 존재할 때,

AA^{-1}=A^{-1}A=E

이므로 $A^{-1}$ 의 역행렬이 $A$ 임을 알 수 있습니다. 즉

(A^{-1})^{-1}=A

입니다. 또 두 정사각행렬 $A,B$ 의 역행렬 $A^{-1},B^{-1}$ 가 존재할 때,

(AB)(B^{-1}A^{-1})=A(BB^{-1})A^{-1}=AEA^{-1}=AA^{-1}=E

(B^{-1}A^{-1})(AB)=B^{-1}(AA^{-1})B=AEA^{-1}=B^{-1}B=E

이므로 $AB$ 의 역행렬이 $B^{-1}A^{-1}$ 임을 알 수 있습니다. 즉

(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}

입니다.^[35]^[36]

이상을 정리하면 다음과 같습니다.^[37]^[38]^[39]

역행렬의 성질

두 정사각행렬 $A,B$ 의 역행렬 $A^{-1},B^{-1}$ 가 존재할 때,

① $(A^{-1})^{-1}=A$

② $(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}$

참고

↑ 행렬(行列)을 영어로 matrix, 성분(成分)을 영어로 entry라고 합니다.
↑ 여기서는 행렬의 성분이 실수인 경우만 다루기로 합니다.
↑ 행(行)을 영어로 row, 열(列)을 영어로 column이라고 합니다.
↑ $m\times n$ 행렬은 ' $m$ by $n$ 행렬'이라고 읽습니다.
↑ 정사각행렬(正四角行列)을 영어로 square matrix라고 합니다.
↑ 두 행렬 $A,B$ 가 서로 같지 않을 때, 이것을 기호로 $A\neq B$ 와 같이 나타냅니다.
↑ 두 행렬 $A={\begin{pmatrix}a_{ij}\end{pmatrix}},B={\begin{pmatrix}b_{ij}\end{pmatrix}}$ 가 같을 꼴일 때,
$A=B\Leftrightarrow a_{ij}=b_{ij}$
↑ 같은 꼴이 아닌 두 행렬의 덧셈은 정의되지 않습니다.
↑ 두 행렬 $A={\begin{pmatrix}a_{ij}\end{pmatrix}},\ B={\begin{pmatrix}b_{ij}\end{pmatrix}}$ 가 같을 꼴일 때,
$A+B={\begin{pmatrix}a_{ij}+b_{ij}\end{pmatrix}}$
↑ 행렬의 덧셈에서 결합법칙이 성립하므로 $(A+B)+C$ 와 $A+(B+C)$ 를 괄호를 사용하지 않고
$A+B+C$
와 같이 나타내기도 합니다.
↑ 영행렬(零行列)을 영어로 zero matrix라고 합니다.
↑ 같은 꼴이 아닌 두 행렬의 뺄셈은 정의되지 않습니다.
↑ 두 실수 $a,b$ 에 대하여
$a-b=a+(-b)$
↑ 두 행렬 $A={\begin{pmatrix}a_{ij}\end{pmatrix}},\ B={\begin{pmatrix}b_{ij}\end{pmatrix}}$ 가 같을 꼴일 때,
$A-B={\begin{pmatrix}a_{ij}-b_{ij}\end{pmatrix}}$
↑ $a,b,x$ 가 실수일 때,
$x+a=b\Leftrightarrow x=b-a$
↑ $A={\begin{pmatrix}a_{ij}\end{pmatrix}}$ 이고 $k$ 가 실수일 때,
$kA={\begin{pmatrix}ka_{ij}\end{pmatrix}}$
↑ 실수 $a$ 에 대하여
$1a=a,\ (-1)a=-a,\ 0\cdot a=0$
↑ 두 행렬 $A,B$ 의 곱 $AB$ 는 행렬 $A$ 의 열의 개수와 행렬 $B$ 의 행의 개수가 같을 때에만 정의됩니다.
↑ 두 행렬 $A={\begin{pmatrix}a_{ik}\end{pmatrix}},\ B={\begin{pmatrix}b_{kj}\end{pmatrix}},\ AB={\begin{pmatrix}c_{ij}\end{pmatrix}}$ 이고 $k=1,2,\cdots ,l$ 일 때,
$c_{ij}=a_{i1}b_{1j}+a_{i2}b_{2j}+\cdots +a_{il}b_{lj}$
↑ $A^{1}=A$ 입니다.
↑ 행렬의 곱셈의 정의에 의하여 $A$ 가 정사각행렬일 때에만 행렬의 거듭제곱 $A^{n}$ 이 정의됨을 알 수 있습니다.
↑ 임의의 자연수 $n$ 에 대하여
${\begin{pmatrix}1&a\\0&1\end{pmatrix}}^{n}={\begin{pmatrix}1&na\\0&1\end{pmatrix}},\ {\begin{pmatrix}1&0\\a&1\end{pmatrix}}^{n}={\begin{pmatrix}1&0\\na&1\end{pmatrix}},\ {\begin{pmatrix}a&0\\0&b\end{pmatrix}}^{n}={\begin{pmatrix}a^{n}&0\\0&b^{n}\end{pmatrix}}$
↑ 행렬의 곱셈에서 결합법칙이 성립하므로 $(AB)C$ 와 $A(BC)$ 를 괄호를 사용하지 않고
$ABC$
와 같이 나타내기도 합니다.
↑ 두 행렬 $A,B$ 에 대하여
${\begin{aligned}(A+B)^{2}&=(A+B)(A+B)\\&=A(A+B)+B(A+B)\\&=A^{2}+AB+BA+B^{2}\end{aligned}}$
↑ 실수 $a$ 에 대하여
$a\cdot 0=0\cdot a=0$
↑ 두 실수 $a,b$ 에 대하여
$a\neq 0,\ b\neq 0\Leftrightarrow ab\neq 0$
↑ 단위행렬(單位行列)을 영어로 unit matrix라고 하며, 기호 $I$ 로 나타내기도 합니다.
↑ ${\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}}$ 은 각각 이차, 삼차 단위행렬입니다.
↑ 행렬 $E={\begin{pmatrix}e_{ij}\end{pmatrix}}$ 가 단위행렬일 때,
$e_{ij}={\begin{cases}1&(i=j)\\0&(i\neq j)\end{cases}}$
↑ 임의의 자연수 $n$ 에 대하여
$E^{n}=E$
↑ 행렬 $A={\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}$ 에 대하여 다음 등식이 성립합니다.
$A^{2}-(a+d)A+(ad-bc)E=O$
위의 등식을 케일리-해밀턴 정리라고 합니다. 케일리-해밀턴 정리는 정사각행렬 $A$ 에 대하여 $A^{n}=pA+qE$ ( $n$ 은 자연수, $p,q$ 는 실수)의 꼴로 나타내는 데에 편리합니다.
↑ 역행렬(逆行列)을 영어로 inverse matrix라고 합니다. 또 $A^{-1}$ 는 ' $A$ 의 역행렬' 또는 ' $A^{-1}$ inverse'라고 읽습니다.
↑ 여기서는 역행렬을 $2\times 2$ 행렬인 경우만 다루기로 합니다.
↑ 단위행렬 $E$ 에 대하여 $EE=E$ 이므로
$E^{-1}=E$
↑ $(AB)^{-1}\neq A^{-1}B^{-1}$ 임에 유의하시기 바랍니다.
↑ 세 정사각행렬 $A,B,C$ 의 역행렬 $A^{-1},B^{-1},C^{-1}$ 가 모두 존재할 때,
$(ABC)^{-1}=C^{-1}B^{-1}A^{-1}$
↑ 역행렬이 존재하는 정사각행렬 $A$ 와 임의의 자연수 $n$ 에 대하여
${\begin{aligned}(A^{n})^{-1}&=(\underbrace {AA\cdots A} _{n})^{-1}\\&=\underbrace {A^{-1}A^{-1}\cdots A^{-1}} _{n}\\&=(A^{-1})^{n}\end{aligned}}$
↑ 역행렬이 존재하는 정사각행렬 $A$ 와 $0$ 이 아닌 임의의 실수 $k$ 에 대하여
$(kA)^{-1}={\frac {1}{k}}A^{-1}$
↑ 역행렬이 존재하는 두 정사각행렬 $A,B$ 와 임의의 자연수 $n$ 에 대하여
$(A^{-1}BA)^{n}=A^{-1}B^{n}A$

[1] 행렬(行列)을 영어로 matrix, 성분(成分)을 영어로 entry라고 합니다.

[2] 여기서는 행렬의 성분이 실수인 경우만 다루기로 합니다.

[3] 행(行)을 영어로 row, 열(列)을 영어로 column이라고 합니다.

[4] $m\times n$ 행렬은 ' $m$ by $n$ 행렬'이라고 읽습니다.

[5] 정사각행렬(正四角行列)을 영어로 square matrix라고 합니다.

[6] 두 행렬 $A,B$ 가 서로 같지 않을 때, 이것을 기호로 $A\neq B$ 와 같이 나타냅니다.

[7] 두 행렬 $A={\begin{pmatrix}a_{ij}\end{pmatrix}},B={\begin{pmatrix}b_{ij}\end{pmatrix}}$ 가 같을 꼴일 때,
$A=B\Leftrightarrow a_{ij}=b_{ij}$

[8] 같은 꼴이 아닌 두 행렬의 덧셈은 정의되지 않습니다.

[9] 두 행렬 $A={\begin{pmatrix}a_{ij}\end{pmatrix}},\ B={\begin{pmatrix}b_{ij}\end{pmatrix}}$ 가 같을 꼴일 때,
$A+B={\begin{pmatrix}a_{ij}+b_{ij}\end{pmatrix}}$

[10] 행렬의 덧셈에서 결합법칙이 성립하므로 $(A+B)+C$ 와 $A+(B+C)$ 를 괄호를 사용하지 않고
$A+B+C$
와 같이 나타내기도 합니다.

[11] 영행렬(零行列)을 영어로 zero matrix라고 합니다.

[12] 같은 꼴이 아닌 두 행렬의 뺄셈은 정의되지 않습니다.

[13] 두 실수 $a,b$ 에 대하여
$a-b=a+(-b)$

[14] 두 행렬 $A={\begin{pmatrix}a_{ij}\end{pmatrix}},\ B={\begin{pmatrix}b_{ij}\end{pmatrix}}$ 가 같을 꼴일 때,
$A-B={\begin{pmatrix}a_{ij}-b_{ij}\end{pmatrix}}$

[15] $a,b,x$ 가 실수일 때,
$x+a=b\Leftrightarrow x=b-a$

[16] $A={\begin{pmatrix}a_{ij}\end{pmatrix}}$ 이고 $k$ 가 실수일 때,
$kA={\begin{pmatrix}ka_{ij}\end{pmatrix}}$

[17] 실수 $a$ 에 대하여
$1a=a,\ (-1)a=-a,\ 0\cdot a=0$

[18] 두 행렬 $A,B$ 의 곱 $AB$ 는 행렬 $A$ 의 열의 개수와 행렬 $B$ 의 행의 개수가 같을 때에만 정의됩니다.

[19] 두 행렬 $A={\begin{pmatrix}a_{ik}\end{pmatrix}},\ B={\begin{pmatrix}b_{kj}\end{pmatrix}},\ AB={\begin{pmatrix}c_{ij}\end{pmatrix}}$ 이고 $k=1,2,\cdots ,l$ 일 때,
$c_{ij}=a_{i1}b_{1j}+a_{i2}b_{2j}+\cdots +a_{il}b_{lj}$

[20] $A^{1}=A$ 입니다.

[21] 행렬의 곱셈의 정의에 의하여 $A$ 가 정사각행렬일 때에만 행렬의 거듭제곱 $A^{n}$ 이 정의됨을 알 수 있습니다.

[22] 임의의 자연수 $n$ 에 대하여
${\begin{pmatrix}1&a\\0&1\end{pmatrix}}^{n}={\begin{pmatrix}1&na\\0&1\end{pmatrix}},\ {\begin{pmatrix}1&0\\a&1\end{pmatrix}}^{n}={\begin{pmatrix}1&0\\na&1\end{pmatrix}},\ {\begin{pmatrix}a&0\\0&b\end{pmatrix}}^{n}={\begin{pmatrix}a^{n}&0\\0&b^{n}\end{pmatrix}}$

[23] 행렬의 곱셈에서 결합법칙이 성립하므로 $(AB)C$ 와 $A(BC)$ 를 괄호를 사용하지 않고
$ABC$
와 같이 나타내기도 합니다.

[24] 두 행렬 $A,B$ 에 대하여
${\begin{aligned}(A+B)^{2}&=(A+B)(A+B)\\&=A(A+B)+B(A+B)\\&=A^{2}+AB+BA+B^{2}\end{aligned}}$

[25] 실수 $a$ 에 대하여
$a\cdot 0=0\cdot a=0$

[26] 두 실수 $a,b$ 에 대하여
$a\neq 0,\ b\neq 0\Leftrightarrow ab\neq 0$

[27] 단위행렬(單位行列)을 영어로 unit matrix라고 하며, 기호 $I$ 로 나타내기도 합니다.

[28] ${\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}}$ 은 각각 이차, 삼차 단위행렬입니다.

[29] 행렬 $E={\begin{pmatrix}e_{ij}\end{pmatrix}}$ 가 단위행렬일 때,
$e_{ij}={\begin{cases}1&(i=j)\\0&(i\neq j)\end{cases}}$

[30] 임의의 자연수 $n$ 에 대하여
$E^{n}=E$

[31] 행렬 $A={\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}$ 에 대하여 다음 등식이 성립합니다.
$A^{2}-(a+d)A+(ad-bc)E=O$
위의 등식을 케일리-해밀턴 정리라고 합니다. 케일리-해밀턴 정리는 정사각행렬 $A$ 에 대하여 $A^{n}=pA+qE$ ( $n$ 은 자연수, $p,q$ 는 실수)의 꼴로 나타내는 데에 편리합니다.

[32] 역행렬(逆行列)을 영어로 inverse matrix라고 합니다. 또 $A^{-1}$ 는 ' $A$ 의 역행렬' 또는 ' $A^{-1}$ inverse'라고 읽습니다.

[33] 여기서는 역행렬을 $2\times 2$ 행렬인 경우만 다루기로 합니다.

[34] 단위행렬 $E$ 에 대하여 $EE=E$ 이므로
$E^{-1}=E$

[35] $(AB)^{-1}\neq A^{-1}B^{-1}$ 임에 유의하시기 바랍니다.

[36] 세 정사각행렬 $A,B,C$ 의 역행렬 $A^{-1},B^{-1},C^{-1}$ 가 모두 존재할 때,
$(ABC)^{-1}=C^{-1}B^{-1}A^{-1}$

[37] 역행렬이 존재하는 정사각행렬 $A$ 와 임의의 자연수 $n$ 에 대하여
${\begin{aligned}(A^{n})^{-1}&=(\underbrace {AA\cdots A} _{n})^{-1}\\&=\underbrace {A^{-1}A^{-1}\cdots A^{-1}} _{n}\\&=(A^{-1})^{n}\end{aligned}}$

[38] 역행렬이 존재하는 정사각행렬 $A$ 와 $0$ 이 아닌 임의의 실수 $k$ 에 대하여
$(kA)^{-1}={\frac {1}{k}}A^{-1}$

[39] 역행렬이 존재하는 두 정사각행렬 $A,B$ 와 임의의 자연수 $n$ 에 대하여
$(A^{-1}BA)^{n}=A^{-1}B^{n}A$

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