포털:고등학교/수학/수학 Ⅰ(2009 개정)/다항식의 연산

반갑습니다.

다항식의 연산 부분은 앞으로 수학에 있어서 매우 기초적인 부분이므로 반드시 짚고 가야 합니다.

이 부분에서는 다항식의 사칙 연산에 대해 다룰 것입니다.

다항식의 덧셈과 뺄셈

먼저 다항식에서 사용되는 용어들에 대해서 알아보도록 합시다.

단항식 : 숫자와 문자, 문자와 문자의 곱으로만 이루어진 식을 말합니다. (예 : $2x,x^{2}$ 등)
다항식 : 단항식 또는 단항식의 합으로 이루어진 식을 말합니다. 여기에는 단항식도 포함됩니다. (예 : $x^{2}-4x+5$ 등)
항 : 다항식에 포함된 각각의 단항식들을 말합니다. (예 : $x^{2}-4x+5$ 에서 $x^{2},-4x,5$ 가 해당)
계수 : 항에서 특정한 문자를 제외한 나머지 부분을 말합니다. (예 : $-4x$ 에서 $-4$ 가 해당)
항의 차수 : 하나의 항에서 문자가 곱해진 개수를 말합니다. (예 : $x^{3}$ 의 차수는 3)
다항식의 차수 : 다항식에 속한 여러 항들 중 가장 차수가 높은 항의 차수를 말합니다. (예 : $x^{2}-4x+5$ 의 차수는 2)
상수항 : 특정한 문자를 포함하지 않는 항을 말합니다. (예 : $x^{2}-4x+5$ 에서 5)
동류항 : 문자와 차수가 같은 항을 말합니다. (예 : $2x^{2}y$ 와 $7x^{2}y$ , $4a^{3}b^{2}$ 과 $a^{3}b^{2}$ 등)

다항식과 관련해서 계산을 하다 보면, 종종 여러 차수의 항들이 섞여 식을 이해하기 힘든 경우가 종종 생깁니다.

이러한 사태에 대비해서 다항식은 아래의 두 가지 방법으로 정리할 수 있습니다.

내림차순 : 다항식을 한 문자에 대해 차수가 높은 항부터 낮아지는 차례로 정리하는 방식을 말합니다. (예 : $x^{2}-3xy+5y^{2}-2x+4y-2$ 를 x에 대해 내림차순으로 정리하면 $x^{2}-(3x+2)x+(5y^{2}+4y-2)$ 가 됨)
오름차순 : 다항식을 한 문자에 대해 차수가 낮은 항부터 높아지는 차례로 정리하는 방식을 말합니다. (예 : $x^{2}-3xy+5y^{2}-2x+4y-2$ 를 y에 대해 오름차순으로 정리하면 $(x^{2}-2x-2)-(3x-4)y+5y^{2}$ 가 됨)

다항식의 덧셈과 뺄셈은, 먼저 식에 괄호가 있을 경우에는 괄호를 분배법칙으로 풀어준 다음, 각 항을 동류항끼리 더하거나 빼주면 됩니다.

또한 다항식의 덧셈에는 교환법칙과 결합법칙이 성립합니다.

그럼 이어서 다항식의 사칙연산 중 곱셈에 대해 알아보도록 합시다.

단항식과 단항식 간의 곱셈은 지수법칙을 통해 간단히 할 수 있습니다.

아래의 법칙들에는 $a,b$ 는 실수이고 $m.n$ 은 자연수라는 조건이 붙습니다.

$a^{m}\times a^{n}=a^{m+n}$
$\left(a^{m}\right)^{n}=a^{mn}$
$\left(ab\right)^{n}=a^{n}b^{n}$
$\left({\frac {a}{b}}\right)^{n}={\frac {a^{n}}{b^{n}}}$ $\left(b\neq 0\right)$
$a^{m}\div a^{n}={\frac {a^{m}}{a^{n}}}={\begin{cases}a^{m-n}&\left(m>n\right)\\1&\left(m=n\right)\\{\frac {1}{a^{n-m}}}&\left(m<n\right)\end{cases}}$

다항식의 곱을 계산할때는 먼저 분배법칙과 지수법칙을 통해 식을 전개한 후 동류항끼리 모아서 식을 간단히 합니다.

예 : $\left(a+b+c\right)\left(x+y+z\right)=ax+ay+az+bx+by+bz+cx+cy+cz$

또한 다항식의 곱셈에서도 역시 교환법칙과 결합법칙이 성립하며, 분배법칙도 성립합니다.

위와 같이 다항식의 곱셈을 하다 보니, 수학자들은 여러 경우를 일반화시켜 곱셈 공식을 만들어냈습니다.

이 곱셈 공식은 뒤에서도 요긴하게 쓰일 것이니 반드시 알고 가야 합니다.

$\left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}$
$\left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}$
$\left(a+b\right)\left(a-b\right)=a^{2}-b^{2}$
$\left(x+a\right)\left(x+b\right)=x^{2}+\left(a+b\right)x+ab$
$\left(ax+b\right)\left(cx+d\right)=acx^{2}+\left(ad+bc\right)x+bd$
$\left(x+a\right)\left(x+b\right)\left(x+c\right)=x^{3}+\left(a+b+c\right)x^{2}+\left(ab+bc+ca\right)+abc$
$\left(x-a\right)\left(x-b\right)\left(x-c\right)=x^{3}-\left(a+b+c\right)x^{2}+\left(ab+bc+ca\right)-abc$
$\left(a+b+c\right)^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2}+2ab+2bc+2ca$
$\left(a+b\right)^{3}=a^{3}+3a^{2}b+3ab^{2}+b^{3}$
$\left(a-b\right)^{3}=a^{3}-3a^{2}b+3ab^{2}-b^{3}$
$\left(a+b\right)\left(a^{2}-ab+b^{2}\right)=a^{3}+b^{3}$
$\left(a-b\right)\left(a^{2}+ab+b^{2}\right)=a^{3}-b^{3}$
$\left(a+b+c\right)\left(a^{2}+b^{2}+c^{2}-ab-bc-ca\right)=a^{3}+b^{3}+c^{3}-3abc$
$\left(a^{2}+ab+b^{2}\right)\left(a^{2}-ab+b^{2}\right)=a^{4}+a^{2}b^{2}+b^{4}$

위의 곱셈 공식을 알아내고, 이 공식들을 조금씩 변형해서 필요한 식을 구해내는 공식이 생겼습니다. 이 공식들도 한번 알아보도록 하겠습니다.

$a^{2}+b^{2}=\left(a+b\right)^{2}-2ab=\left(a-b\right)^{2}+2ab$
$\left(a-b\right)^{2}=\left(a+b\right)^{2}-4ab$
$a^{3}+b^{3}=\left(a+b\right)^{3}-3ab\left(a+b\right)$
$a^{3}-b^{3}=\left(a-b\right)^{3}+3ab\left(a-b\right)$
$x^{2}+{\frac {1}{x^{2}}}=\left(x+{\frac {1}{x}}\right)^{2}-2$
$x^{3}+{\frac {1}{x^{3}}}=\left(x+{\frac {1}{x}}\right)^{3}-3\left(x+{\frac {1}{x}}\right)$
$\left(x-{\frac {1}{x}}\right)^{2}=\left(x+{\frac {1}{x}}\right)^{2}-4$
$a^{2}+b^{2}+c^{2}=\left(a+b+c\right)^{2}-2\left(ab+bc+ca\right)$
$a^{2}+b^{2}+c^{2}-ab-bc-ca={\frac {1}{2}}\left\{\left(a-b\right)^{2}+\left(b-c\right)^{2}+\left(c-a\right)^{2}\right\}$
$a^{2}+b^{2}+c^{2}+ab+bc+ca={\frac {1}{2}}\left\{\left(a+b\right)^{2}+\left(b+c\right)^{2}+\left(c+a\right)^{2}\right\}$
$a^{3}+b^{3}+c^{3}=\left(a+b+c\right)\left(a^{2}+b^{2}+c^{2}-ab-bc-ca\right)+3abc$