포털:고등학교/수학/수학 I/등비수열

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등비수열이란, 어떤 수를 곱한 것을 나열하여 수열로 만든 것을 일컫습니다. 가령, 아래와 같이

${1}{,}\;{3}{,}\;{9}{,}\;{27}{,}\;{81}{,}\;{243}{,}\;\cdots$

은 3을 계속 곱하여 나열한 수열입니다. 이 때의 수 3을 공비라고 합니다. 그럼, 일반적인 꼴로 볼까요.

${a}{,}\;{ar}{\mathrm {,} }\;{ar}^{2}{,}\;{ar}^{3}{,}\;\mathrm {\cdots }$

첫째항이 $a$, 공비가 $r$인 등비수열의 일반항 ${a}_{n}$은

${a}_{n}\mathrm {=} {ar}^{{n}-{1}}$

이 됩니다. 위의 예시로 들었던, 공비가 3이고 첫째항이 3이었던 수열의 일반항을 구해봅시다. 그럼 아래와 같이,

${\begin{array}{ccc}{{a}_{n}}&{=}&{{3}\mathrm {\cdot } {3}^{{n}-{1}}}\\{}&{=}&{{3}^{n}}\end{array}}$

가 됩니다.

등비수열의 합

이제 등비수열의 항들을 순서대로 더해 봅시다.

(중간 과정)

따라서 등비수열의 합은

$a+ar+ar^{2}+\cdots +ar^{n-1}={\frac {a(1-r^{n})}{1-r}}$

이 됩니다.