등분포하중 고정단모멘트 유도

상위 문서 : 처짐각법

양단은 고정단이므로 처짐각은 발생하지 않고, 부재 변형은 파란 선처럼 일어납니다.

q 분포하중에 저항하는 모멘트가 양단에 생기는데 방향은 다음과 같습니다.

모멘트의 방향으로 봤을 때 음의 어떤 모멘트입니다. M_A, M_B라고 하고 이 둘의 크기는 같습니다.

양단의 처짐각이 0임을 이용해서 M_A, M_B를 구할 것입니다. 그러기 위해서 모멘트 면적 제 1정리를 이용합니다.

$\theta _{AB}=\int _{A}^{B}{\frac {M}{EI}}dx=0$

곡률도는 등분포하중에 의한 곡률도와, 양단모멘트에 의한 곡률도를 따로 그려서 더해주면 나옵니다. 등분포하중에 의한 곡률을 ${\frac {M_{1}}{EI}}$, 양단모멘트에 의한 곡률을 ${\frac {M_{2}}{EI}}$라 한다면 위 식은

$\theta _{AB}=\int _{A}^{B}{\frac {M_{1}}{EI}}dx+\int _{A}^{B}{\frac {M_{2}}{EI}}dx=0$

${\frac {2}{3}}L\cdot {\frac {qL^{2}}{8EI}}+L\cdot {\frac {-M_{A}}{EI}}=0$

$\therefore M_{A}=M_{B}={\frac {qL^{2}}{12}}$