토목기사 요약/수리수문학/개수로

출제 기준

2019-2021

• 전수두 및 에너지 방정식
• 효율적 흐름 단면
• 비에너지
• 도수
• 점변 부등류
• 오리피스
• 위어

용어 설명

수심, 수위

• 수심(水深, depth of flow) : 공기와 물이 접하는 자유수면에서 수로 바닥까지의 연직 거리.
• 수위(水位, stage) : 자유수면으로부터 임의의 지점까지의 연직 거리.

수리평균심

hydraulic mean depth. = 수리심, 수리수심(hydraulic depth)

91

수로의 평균 수심

$D={\frac {A}{B}}$

• 수로 폭 B (top width): 자유 수면에서의 수로 단면 폭

---

단면계수

• 등류 계산 시 $Z=AR^{\frac {2}{3}}$
• 한계류 계산 시 $Z=AD^{\frac {1}{2}}$

통수능

통수능 : 단면이 물을 통수시킬 수 있는 능력. $Q=AV=ACR^{m}I^{n}=KI^{n}$에서 $K=ACR^{m}$

Manning 공식에서 통수능

$K_{0}={\frac {1}{n}}R^{\frac {2}{3}}A$

• n : Manning 조도계수

효율적 흐름 단면

♣♣♣13-2, 16-2, 19-2

일정 단면적에서 최대 유량이 흐르는 단면. 즉 경심 R(수리평균심, 동수반경, 수리반경)이 최대이거나 윤변 P가 최소인 단면. 직사각형 단면이던 사다리꼴 단면이던 반원이 내접되어야 한다.

• 직사각형 단면 B = 2h, $R={\frac {h}{2}}$ ♣♣♣
• 정다각형을 반으로 자른 단면이 수리학적으로 유리한 단면이다!!!

비에너지

18-1, 18-2, 18-3, 19-1

• ♣♣♣ 비에너지는 수로 바닥을 기준으로 한 단위무게의 물 에너지. 등류에선 일정.

15-1, 16-4, 19-2

$E=h+\alpha {\frac {V^{2}}{2g}}$

따라서 비에너지는 유량이 일정한 경우 수심만의 함수가 된다.

한계수심 : 비에너지가 최소일 때의 수심. 혹은 유량이 최대일 때의 수심 (정의 ♣♣14-2, 19-1, 19-3)

• 
• 
  ♣♣♣14-1, 15-1, 16-4, 19-3

95

개수로 단면이 오른쪽 그림처럼 w1에서 w2로 감소했다. 이때 수심 변화는 어떻게 될까?

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풀이

• 상류인 경우: w2에서 유속 빨라짐. 수심 감소
• 사류인 경우: w2에서 유속 느려짐. 수심 증가

이유는 다음 그래프로 생각해보면 됨. 단위폭당 유량에 따른 수심변화와, 속도 수두가 어떻게 될 것인지....

수중 구조물이 있는 경우 수면 변화

상류의 흐름에 수중보를 설치하는 경우. 편의상 비에너지의 손실은 없다고 가정.

$E_{1}=h_{1}+{\frac {{V_{1}}^{2}}{2g}}$

$E_{2}=h_{2}+{\frac {{V_{2}}^{2}}{2g}}$

이것은 수로 바닥면이 z만큼 높아진 상태에서의 비에너지이다. 원래의 수로 바닥면과는 z의 높이만큼 비에너지 차이가 날 것이다. 비에너지의 손실은 없다고 하였으므로 1단면과 2단면의 비에너지가 같아야 한다. 이것을 식으로 나타낸다면

$E_{1}=E_{2}+z$

상류 흐름에 수중보를 설치하면 보가 있는 부분에서 수위는 감소. 같은 방법으로 사류일 때를 확인해보면 반대로 수위가 증가.

사각형 단면 한계수심

12-3, 18-3, 19-3

$h_{c}=\left({\frac {\alpha Q^{2}}{gb^{2}}}\right)^{\frac {1}{3}}$

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97, 18-3

직사각형 수로에서 폭이 5m, 한계수심이 1m, 에너지 보정계수 α = 1.0이면 유량은?

---

$h_{c}=\left({\frac {\alpha Q^{2}}{gb^{2}}}\right)^{\frac {1}{3}}$

$Q=\left({\frac {{h_{c}}^{3}gb^{2}}{\alpha }}\right)^{\frac {1}{2}}=15.65m^{3}/s$

흐름의 상태

단면 변화 정도에 따른 분류

• 점변류(gradually varied flow) : 수면 변화가 완만하게 나타나는 흐름
• 급변류(rapidly varied flow) : 비교적 짧은 구간에서 급격한 수면 변화를 나타내는 흐름

레이놀즈 수에 의한 흐름의 분류

토목기사 요약/수리수문학/동수역학#층류, 난류의 구분 참고.

상류, 사류, 한계류

지배단면(control section)이란? (14-1)

• 개수로 흐름이 상류에서 사류로 바뀔 때 한계수심이 발생하는 단면

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• 한계경사 : 지배단면에서의 경사

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♣♣ 계산문제, 개념 묻는 문제(13-1, 16-4, 19-1) 출제

장파전달속도 $c={\sqrt {gD}}$에 대하여

• 상류(subcritical flow, ordinary flow, tranquil flow): 한계수심보다 수심이 깊지만 한계유속보다 유속이 느린 흐름.(18-3) V < c. 장파가 상류로 전달.
  • $Fr={\frac {V}{c}}={\frac {V}{\sqrt {gD}}}<1$
  • I < I_c
• 한계류(critical flow) : Fr = 1. 이때의 수심을 한계수심, 유속을 한계유속
• 사류(supercritical flow, jet flow, rapid flow): V > c. 하류 흐름의 영향이 상류로 전파되지 않음.
  • $Fr={\frac {V}{c}}={\frac {V}{\sqrt {gD}}}>1$
  • I > I_c

Froude 수는 중력에 대한 관성력의 비

비력

비력(specific force, 충력치, 14-2, 15-3, 18-1) : 개수로 어떤 단면에서 단위중량 당 정수압 + 운동량

운동량 방정식으로부터 유도된다.

비력 = 정수압 + 운동량이므로

M₁ = M₂

$\gamma _{w}h_{G1}A_{1}+\rho QV_{1}=\gamma _{w}h_{G2}A_{2}+\rho QV_{2}$

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참고 서적

• 김경호 (2010). 〈11. 개수로 정상흐름의 기초〉. 《수리학》. 한티미디어. 

도수

= hydraulic jump. 흐름이 사류에서 상류로 변할 때 수면이 불연속적으로 뛰는 현상. 가지고 있는 에너지의 일부를 와류와 난류를 통해 소모한다.(15-1)

도수 전후 두 수심 : 공액수심

도수 후 수심 = 도수고

♣♣♣12-3, 14-3, 15-2, 16-1, 19-3

직사각형 단면에 대해

$h_{2}={\frac {h_{1}}{2}}\left(-1+{\sqrt {{\color {red}1}+{\color {red}8}{Fr_{1}}^{2}}}\right)$

• $Fr_{1}={\frac {V_{1}}{\sqrt {gh_{1}}}}$

도수 전후 비력이 일정함을 이용해 유도됨.(단위폭당 유량, 이차방정식 근의 공식, 프루드 수 등을 이용해 유도)

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도수로 인한 에너지 손실

♣♣♣13-1, 14-2, 19-2, 19-3

$\Delta E={\frac {{\color {red}(}h_{2}-h_{1}{\color {red})^{3}}}{4h_{1}h_{2}}}$

비에너지 차이, 도수 전후 수심 유도 과정 중 나오는 식을 이용해 유도함.

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참고 서적

• 김경호 (2010). 〈11. 개수로 정상흐름의 기초〉. 《수리학》. 한티미디어. 

점변 부등류

부등류의 수면곡선

구분하는 것 문제로 나옴.

한계수심, 한계경사는 유량, 단면이 정해지면 하나로 정해짐

• 배수곡선(backwater curve) : ${\frac {dh}{dx}}>0$. 상류(subcritical flow) 흐름에 댐, 위어 등을 설치하면 흐름을 따라 상류(上) 수심이 증가하는 곡선.(13-2, 18-1, 19-1)
• 저하곡선 : ${\frac {dh}{dx}}<0$. 흐름을 따라 수심이 감소하는 곡선.
• ${\frac {dh}{dx}}=0$이면 수심은 일정하게 되어 등류가 됨. 여기서 h₀는 등류수심.(임의 경사의 무한한 길이의 개수로에 물이 흐를 때 수심을 등류수심이라 함) 수로 경사를 완경사에서 점점 올려서 급경사로 만들수록 등류수심은 감소하다가 한계수심과 같아졌다가(한계경사) 한계수심보다 작아짐.(급경사)

수로경사를 S₀, 한계경사를 S_c라 할 때,

• S₀ < S_c이면 완경사(Mild slope; M)
• S₀ = S_c이면 한계 경사(Critical slope; C)
• S₀ > S_c이면 급경사(Steep slope; S)
• S₀ = 0이면 바닥 경사는 수평(Horizontal; H)
• S₀ < 0이면 역경사(Adverse; A)

여기에 따른 수면형은(15-1)

등류수심 h₀에는 수면이 점근하고, 수로바닥과 한계수심 h_c에는 급격하게 붙어버린다.

예시 - Mild slope

• 영역 1 : $h>h_{0}>h_{c},\quad Fr<1$이면 ${\frac {dh}{dx}}>0$ : M1곡선
• 영역 2 : $h_{0}>h>h_{c},\quad Fr<1$이면 ${\frac {dh}{dx}}<0$ : M2곡선
• 영역 3 : $h_{0}>h_{c}>h,\quad Fr>1$이면 ${\frac {dh}{dx}}>0$ : M3곡선

참고 자료

• 김경호 (2010). 《수리학》. 한티미디어. 

오리피스

• w:토리첼리의 정리는 위치수두를 속도 수두로 바꾸는 경우다.(95)

오리피스 유량

♣♣♣98, 00, 01, 02, 03, 12-3, 14-1, 14-2, 16-4, 19-3

유량계수

$C=C_{a}C_{v}$

• $C_{a}={\text{수 축 계 수 }}={\frac {a}{A}}\quad (\because a=C_{a}A)$
  • $C_{a}=0.6\sim 0.7$
  • 표준단관 $C_{a}=1.0$
  • a : 수축단면(vena contracta)의 단면적
  • A : 오리피스 단면적
• C_v : 유속계수

• 유량 ${\color {red}Q=CA{\sqrt {2gH}}}$ (92, 19-1)

---

• 연직오리피스에서 유량계수 C는 대강 0.6 전후임(16-1)

작은 오리피스

오리피스

H > 5d이면 작은 오리피스

99, 14-3, 15-1, 20-1+2

이론 유속

$V={\sqrt {2gH}}$

• H : 수면에서 수축단면 중심까지 거리

실제 유속

$V_{t}=C_{v}{\sqrt {2gH}}$

95, 19-2, 20-1+2

오리피스 수두 오차와 유량 오차의 관계

${\frac {dQ}{dH}}=CA{\sqrt {2g}}{\frac {1}{2}}H^{-{\frac {1}{2}}}$

${\frac {dQ}{Q}}={\frac {CA{\sqrt {2g}}}{Q\times 2{\sqrt {H}}}}dH$

${\frac {dQ}{Q}}={\frac {\cancel {CA{\sqrt {2g}}}}{{\cancel {CA}}{\sqrt {{\cancel {2g}}H}}\times 2{\sqrt {H}}}}dH$

${\frac {dQ}{Q}}={\frac {1}{2}}{\frac {dH}{H}}$

오리피스 접근 유속 수두

$H_{a}={\frac {{V_{a}}^{2}}{2g}}$

큰 오리피스

• 상하단 압력차(수두변화)를 무시할 수 없을 때 큰 오리피스로 취급.(94, 96)
• 오리피스 단면 내 유속 분포가 동일치 않다고 보고 계산.(96)

H < 5d이면 큰 오리피스

H : 오리피스 중심에서 수면까지 수두

d : 오리피스 직경

베르누이 방정식과 연속방정식을 결합한 뒤, 적분하여 유도

$Q={\frac {2}{3}}Cb{\sqrt {2g}}({H_{2}}^{\frac {3}{2}}-{H_{1}}^{\frac {3}{2}})$

접근유속 고려 시

$Q={\frac {2}{3}}Cb{\sqrt {2g}}((H_{2}+H_{a})^{\frac {3}{2}}-(H_{1}+H_{a})^{\frac {3}{2}})$

수중 오리피스

16-2

수문

$Q=CbH_{d}{\sqrt {2g(H_{1}-H_{2})}}$

• $H_{d}$ : 수문개방높이

얘도 똑같이 토리첼리 정리네

오리피스 유출 시간

보통 오리피스(99)

연속방정식, 토리첼리 정리를 이용, 수면 강하 속도를 T에 대해 적분해서 얻은 식.

$T={\frac {2A}{C\cdot a{\sqrt {2g}}}}({\sqrt {H_{1}}}-{\sqrt {H_{2}}})$

• A : 수면적
• $H_{1}$ : 처음 수위
• $H_{2}$ : 나중 수위

수중 오리피스(13-3)

$T={\frac {2A_{1}A_{2}}{Ca{\sqrt {2g}}(A_{1}+A_{2})}}({\sqrt {H_{1}}}-{\sqrt {H_{2}}})\quad [sec]$

• $A_{1}$ : 1수조 수면적
• $A_{2}$ : 2수조 수면적
• $H_{1}$ : 처음 수위차
• $H_{2}$ : 나중 수위차

수중오리피스 유출시간

노즐

노즐

12, 18-2

유량

노즐 전 점과 vena contracta 사이에서 베르누이 정리 이용. 연속방정식 이용하여 유도.

$Q=C{\frac {\pi d^{2}}{4}}{\sqrt {\frac {2gh}{1-C^{2}\left({\frac {d}{D}}\right)^{4}}}}$

위어

98, 99

• 개수로 유량 측정, 취수를 위한 수위 증가 등의 목적으로 설치됨.
• 작은 유량 측정 시 삼각 위어가 효과적(16-2)
• 위어를 월류하는 흐름은 일반적으로 상류에서 사류로 변함.(16-2)
• 하류수위 $h_{2}>{\frac {2}{3}}H=h_{c}$이면 수중위어(14-1)
  • H : 상류 전수두(기준면은 위어 상면)

위어 월류 유량 공식의 일반형(02, 13-3)

$CL(h+h_{a})^{\frac {3}{2}}$

• C : 월류 계수
• L : 월류 폭

사각형 위어

유량

15-2

베르누이 방정식과 연속방정식을 결합한 뒤, 적분하여 유도

$Q={\frac {2}{3}}Cb{\sqrt {2g}}h^{\frac {3}{2}}$

프란시스 유량 산정 공식

01, 02, 18-3

$Q=1.84\left({\color {red}b}-{\frac {nh}{10}}\right)h^{\frac {3}{2}}$

• n : 양단 수축 2, 일단수축 1, 수축 없으면 0
• h : 월류수심

단수축 폭

18-1

$b_{0}=b-{\frac {nh}{10}}$

---

• 직사각형 수로에서 월류 수두 h와 유량 Q의 관계(99, 00, 12, 16-3, 19-1, 19-2)

${\frac {dQ}{Q}}={\frac {3}{2}}{\frac {dh}{h}}$

광정 위어

broad crest weir. 월류수심 h에 비해 위어 마루 폭 L이 큰 경우.(L > 0.7h)

(05, 13-1, 14-2, 20-1+2 ♣♣)

위어 상류의 한 지점과, 위어에서 한계수심 나타나는 한 지점사이에 베르누이 정리 사용하여 유량 공식 유도.

그림을 정확히 이해하고 유량 공식을 암기하기

${\begin{aligned}H=h+{\frac {{V_{a}}^{2}}{2g}}&=h_{c}+{\frac {{V_{c}}^{2}}{2g}}\\&={\frac {2}{3}}H+{\frac {{V_{c}}^{2}}{2g}}\\\end{aligned}}$

$V_{c}={\sqrt {\frac {2gH}{3}}}$

${\begin{aligned}Q=bh_{c}V_{c}&={\frac {2bH}{3}}{\sqrt {\frac {2gH}{3}}}\\&=1.7bH^{\frac {3}{2}}\\\end{aligned}}$

• H : 전수두(h + h_a)
• h : 월류수심
• $h_{a}=\alpha {\frac {{V_{a}}^{2}}{2g}}={\text{접 근 유 속 수 두 }}$
• $V_{a}$ : 접근유속

사다리꼴 광정 위어

홈마 공식(실험에 의한 것)

$Q=Cb{\sqrt {2g}}h^{\frac {3}{2}}$

---

2. 96

(사다리꼴) 광정위어에서 유량이 30m³/s일 때 위어 상면 수심은? 위어 폭이 5m, C = 0.4

---

$Q=Cb{\sqrt {2g}}h^{\frac {3}{2}}$

$h=\left({\frac {30}{0.4\times 5{\sqrt {2g}}}}\right)^{\frac {2}{3}}=2.26m$

삼각형 위어

삼각형 위어

♣♣♣97, 00, 01, 13-2, 14-3, 15-1

$Q={\frac {8}{15}}C\tan {\frac {\theta }{2}}{\sqrt {2g}}h^{\frac {5}{2}}$

• C : 유량계수

삼각형 수로에서 월류 수두 h와 유량 Q의 관계(93, 97, 98)

${\frac {dQ}{Q}}={\frac {5}{2}}{\frac {dh}{h}}$

참고 문헌

• 전일권 외 (2009). 《수리학》. 동화기술.