토목기사 요약/수리수문학/동수역학

출제기준

2019-2021

• 오일러방정식과 베르누이식
• 흐름의 구분
• 연속 방정식
• 운동량 방정식
• 에너지 방정식

유선

02

• 정상류에선 유적선과 일치.
• 비정상류에선 시간에 따라 유선 달라짐.

흐름의 구분

2차원 흐름의 유선방정식(00, 15-1, 20-1+2)

${\frac {dx}{u}}={\frac {dy}{v}}$

이걸 적분하면 유선이 어떻게 움직이는지 알 수 있음.

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• 유관 : 유선들에 의해 둘러싸인 하나의 폐합관(94)

위치에 따른 유속 변화에 의한 분류

• 등류(等流, uniform flow) 또는 균일 유동 : 흐름방향으로 위치에 따라 유속, 수심, 압력 등 흐름 특성 인자가 변하지 않는 일정한 흐름. 등류도 정류취급(98) (인공 수로)
• 부등류(不等流, varied flow or nonuniform flow) 또는 불균일 유동 : 흐름방향으로 위치에 따라 유속, 수심, 압력 등 흐름 특성 인자가 변하는 흐름(자연 하천)

시간에 따른 유속 변화에 의한 분류

♣99, 01, 12, 13-2, 15-2, 18-1, 19-3

• 정류(정상류, steady flow) : 시간에 따른 유속, 수심, 압력 등 흐름 특성 인자가 변하지 않는 흐름(평시 하천)
  • 정상류 비압축성 유체 연속방정식 : ${\frac {\partial u}{\partial x}}+{\frac {\partial v}{\partial y}}+{\frac {\partial w}{\partial z}}=0$ 또는 $A_{1}V_{1}=A_{2}V_{2}$
  • 정상류 압축성 유체 연속방정식 : ${\frac {\partial \rho u}{\partial x}}+{\frac {\partial \rho v}{\partial y}}+{\frac {\partial \rho w}{\partial z}}=0$ 또는 $\rho A_{1}V_{1}=\rho A_{2}V_{2}$
• 부정류(비정상류, unsteady flow) : 시간에 따른 유적, 유속, 수심, 압력 등 흐름 특성 인자가 변하는 흐름 (홍수시 하천, 하수도)
  • 부정류 연속방정식 : ${\frac {\partial A}{\partial t}}+{\frac {\partial }{\partial l}}(AV)=0$

• 압축성, 일반 유체인 경우 연속방정식: ${\frac {\partial \rho }{\partial t}}+{\frac {\partial \rho u}{\partial x}}+{\frac {\partial \rho v}{\partial y}}+{\frac {\partial \rho w}{\partial z}}=0$

층류, 난류의 구분

♣♣♣13-1, 15-2, 18-2

레이놀즈 수

$Re={\frac {VL}{\nu }}$(점성력에 대한 관성력의 비)

• L : 특성 길이. 관수로는 관경 D, 개수로는 동수반경 R

관수로인 경우

• $Re\lesssim 2100$ : 층류

• 사이 : 천이영역(천이 유동, transition flow)
• $Re\geq 4000$

개수로인 경우

• $Re\leq 500$ : 층류
• 사이 : 천이영역
• $Re\geq 2000$ : 난류

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97

• 난류 내부 전단응력은 층류 내부 전단응력보다 크다.
• 난류는 프루드 수, 등류(93)와 상관 없음.

93

• 레이놀즈 응력, 점성 계수 : 난류 이론과 관계 있음.

베르누이 방정식

♣♣♣

마찰이 없는 정상흐름에 대한 에너지식은 베르누이 방정식이라 함. 에너지 불변의 법칙에 기초. 동일 유선 상 유체입자가 가지는 에너지는 같다.(15-3)

95

• 오일러 운동 방정식을 적분해서 유도 가능.
• 베르누이 정리를 이용해 w:토리첼리의 정리 유도 가능.
• 이상 유체 유동에 대한 기계적 일-에너지 방정식과 같은 것임.

♣♣♣ 94 - 가정

• 정상류
• 비압축성 유체
• 비회전류
• 속도, 압력은 유선에 대해서만 변화

♣♣♣ 16-1, 18-2, 18-3

${\begin{aligned}E&=\rho gz_{1}+p_{1}+{\frac {\rho {V_{1}}^{2}}{2}}=\rho gz_{2}+p_{2}+{\frac {\rho {V_{2}}^{2}}{2}}\\&={\text{위 치 압 력 + 정 압 력 + 동 압 력 (동 수 압 )}}\\&={\text{위 치 압 력 + 정 체 압 력 }}\end{aligned}}$

♣♣♣

${\begin{aligned}{\text{전 수 두 }}&=z_{1}+{\frac {p_{1}}{\gamma }}+{\frac {{V_{1}}^{2}}{2g}}=z_{2}+{\frac {p_{2}}{\gamma }}+{\frac {{V_{2}}^{2}}{2g}}\\&={\text{위 치 수 두 + 압 력 수 두 + 속 도 수 두 }}\\\end{aligned}}$

• 각 항은 길이의 차원. 단위중량 당 에너지를 의미.

에너지경사, 동수경사

18-3

• 에너지선, 동수경사선의 차이는 일반적으로 ${\frac {V^{2}}{2g}}$ (속도수두만큼) (01, 03, 15-1, 19-2)
• 에너지선은 흐름이 일어나도 에너지 손실이 없다면 수평을 유지한다.(92, 19-2)

확장형 베르누이 방정식

13-1, 14-2, 18-1

$z_{1}+{\frac {p_{1}}{\gamma }}+{\frac {{V_{1}}^{2}}{2g}}+h_{p}=z_{2}+{\frac {p_{2}}{\gamma }}+{\frac {{V_{2}}^{2}}{2g}}+h_{t}+h_{L}$

h_p : 유체의 단위중량에 대해 펌프가 해준 일[L]

h_t : 단위중량의 유체가 터빈에 해준 일[L]

h_L : 손실 수두

에너지, 운동량 보정계수

02, 12-3

• 에너지 보정계수 $\alpha ={\frac {1}{A}}\int _{A}\left({\frac {V}{V_{m}}}\right)^{3}dA$
• 운동량 보정계수 $\eta ={\frac {1}{A}}\int _{A}\left({\frac {V}{V_{m}}}\right)^{2}dA$
• 원관 운동량 보정계수(93) : $\eta ={\frac {4}{3}}$

베르누이 정리의 응용

♣♣♣

• 정압은 피에조미터로 측정(91)
• 피토 정압관은 등압 측정에 사용. 유속 측정 수단.(91, 00) 정압과 동압(정체압)을 측정함으로써 유속 잼.(93, 98)
• 벤츄리미터는 관 내 유량 또는 평균유속 측정 시 사용(93)
• 토리첼리의 정리: $V={\sqrt {2gh}}$ (93)
• 수조 수면에서 h인 곳에 단면적 a인 작은 구멍에서 물이 유출하는 경우 베르누이의 정리 사용(93)

• 
  피토관
• 
  피에조미터
• 
  벤츄리미터

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12-3, 19-3

수면이 변하지 않고, 손실수두가 ${\frac {3V^{2}}{2g}}$일 때 관을 통한 유량은?

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풀이

베르누이 정리에서 ${\frac {{V_{0}}^{2}}{2g}}+\left(6+{\frac {0.1}{2}}\right)={\frac {V^{2}}{2g}}+0+{\frac {3V^{2}}{2g}}$

V₀ = 0

$V={\sqrt {\frac {6.05\times g}{2}}}=5.45m/s$

Q = AV = ${\frac {\pi \times 0.1^{2}}{4}}\times 5.45m/s=0.043m^{3}/s$

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벤츄리미터

19-1

연속방정식, 베르누이 정리로 유도함.

$Q=C{\frac {A_{1}A_{2}}{\sqrt {{A_{1}}^{2}-{A_{2}}^{2}}}}{\sqrt {2gh}}$

• C: 유량계수
• h: 벤츄리미터에 꽂힌 피에조미터의 수두차. 만약 수은이 들어있고 수은 높이차가 h', 수은 비중이 s라 하면 $h=h'(s-1)=h'\left({\frac {\gamma _{Hg}}{\gamma _{w}}}-1\right)$ (90)

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• 1단면이 수압이 더 큼(92)

피토관

16-2

두 관의 수두차가 h라 하면 유속 $V={\sqrt {2gh}}$ 만약 피토관 내의 액체가 다른 게 들어있으면 위의 벤츄리미터 할 때처럼 하면 됨

분수

1과 2에 베르누이 방정식을 적용.

$z_{1}+{\frac {p_{1}}{\gamma }}+{\frac {{V_{1}}^{2}}{2g}}=z_{2}+{\frac {p_{2}}{\gamma }}+{\frac {{V_{2}}^{2}}{2g}}$

2의 위치를 기준면이라고 하면

$h+0+0=0+0+{\frac {{V_{2}}^{2}}{2g}}$

이때 $p_{2}=0$인 이유는 만약 2의 분수가 없고 3에 오리피스가 있어서 대기중으로 물이 방출된다고 할 때와 마찬가지로 2도 대기압을 받기 때문이다.

이론유속 $V_{2}={\sqrt {2gh}}$

실제유속 $V_{t}=C_{v}{\sqrt {2gh}}$

실제 유속을 이용해 2와 분수 끝점에 베르누이 방정식 적용, 물줄기 높이 $H_{v}$ 계산.

$0+0+{\frac {{V_{t}}^{2}}{2g}}=H_{v}+0+0$

운동량 방정식

• 극히 짧은 시간에 유체가 어떤 면에 충돌하여 발생하는 반작용의 힘을 구하는 것.
• 가정: 유속은 단면 내에서 일정, 정상류(97, 15-2)
• 유체 운동이 시 공간적으로 급변하는 경우 사용됨(모든 흐름의 해석에 쓰임)(96)

뉴턴의 2법칙을 이용하면 검사체적에 대한 운동량 방정식을 구할 수 있다.

F Δt = m (V₂ - V₁) (14-3, 18-2)

96, 97, 04, 08, 10, 12, 16-4 ♣♣♣

${\color {red}F={\frac {\gamma _{w}}{g}}Q(V_{2}-V_{1})=\rho Q(V_{2}-V_{1})}$

검사체적 설정하고 out : +, in : -, 그리고 x, y좌표 +, - 안 틀리게 해야함

정지판에 미치는 충격력

분류가 고정된 수직평판에 작용하는 경우

질량 보존 법칙 $\rho _{1}V_{1}A_{1}+\rho _{2}V_{2}A_{2}=\rho _{0}V_{0}A_{0}$

비압축성 유체이면 $Q_{1}+Q_{2}=Q_{0}$

운동량 방정식 $\sum F_{x}=\sum _{out}(\rho V_{n}A)V_{x}-\sum _{in}(\rho V_{n}A)V_{x}$

x방향 수평력은 - R_x 뿐이고, (V_x)_out = 0이므로

$-R_{x}=-\rho QV_{0}$

경사진 분류가 고정된 수직평판에 작용하는 경우

$V_{1}=V\sin \theta ,\quad V_{2}=0$이므로

${\begin{aligned}-F&={\frac {\gamma _{w}}{g}}Q(0-V\sin \theta )\\&=-{\frac {\gamma _{w}}{g}}AV^{2}\sin \theta \\\end{aligned}}$

$\therefore F={\frac {\gamma _{w}}{g}}AV^{2}\sin \theta$

분류가 곡면판에 충돌(θ < 90도)

92

x방향에 대해서 V₁ = V, V₂ = V cos θ이므로

${\begin{aligned}-F_{x}&={\frac {\gamma _{w}}{g}}Q(V\cos \theta -V)\\&={\frac {\gamma _{w}}{g}}QV(\cos \theta -1)\\&={\frac {\gamma _{w}}{g}}AV^{2}(\cos \theta -1)\end{aligned}}$

$\therefore F_{x}={\frac {\gamma _{w}}{g}}AV^{2}(1-\cos \theta )$

y방향에 대해서 V₁ = 0, V₂ = V sin θ이므로

${\begin{aligned}F_{y}&={\frac {\gamma _{w}}{g}}Q(V\sin \theta -0)\\&={\frac {\gamma _{w}}{g}}QV\sin \theta \\&={\frac {\gamma _{w}}{g}}AV^{2}\sin \theta \end{aligned}}$

충격력 $F={\sqrt {{F_{x}}^{2}+{F_{y}}^{2}}}$

$\alpha =\tan ^{-1}\left({\frac {F_{y}}{F_{x}}}\right)$

분류가 곡면판에 충돌(θ = 180도)

94

$\cos \theta =\cos(180-\theta _{0})=-\cos \theta _{0}$

${\begin{aligned}-F&={\frac {\gamma _{w}}{g}}Q(-V\cos \theta _{0}-V)\\&={\frac {\gamma _{w}}{g}}QV(-\cos \theta _{0}-1)\\\end{aligned}}$

여기서 $\cos \theta =\cos 180^{\circ }=-1$이므로

$F={\frac {2\gamma _{w}}{g}}QV={\frac {2\gamma _{w}}{g}}AV^{2}$

참고 자료

• 조선대 강의자료(구글 검색)

오일러의 운동방정식

• 부정류 포함 모든 흐름의 해석에 사용됨(96)

95

운동하는 완전유체에 대해 오일러의 운동방정식

${\frac {du}{dt}}=X-{\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial p}{\partial x}}$

${\frac {dv}{dt}}=Y-{\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial p}{\partial y}}$

${\frac {dw}{dt}}=Z-{\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial p}{\partial z}}$

X, Y, Z : 단위질량력의 x, y, z 방향 성분

속도 포텐셜과 항력

93, 98, 00, 02, 13-3

• 조파 저항 : 물체가 수면에 떠 있거나, 일부가 수면 위에 있을 때만 생기는 유체의 저항.
• 형상 저항 : 유체가 흐를 때 레이놀즈 수가 커지면 물체 후면에 후류(wake)가 생긴다. 이때 압력이 저하되어 물체를 흐름 방향과 반대방향으로 잡아당기는 저항.
  • 형상 항력 = 마찰항력 + 압력항력
  • 압력저하에 의한 항력이 압력항력(압력저항)
• 마찰저항은 Re, 조도, 물체의 형태 등에 영향 받음.(Darcy-Weisbach, Hazen-Poiseuille)

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♣12, 13-1, 13-2, 16-4, 17-1, 18-2, 18-3

항력

$D=C_{D}A{\frac {\rho V^{2}}{2}}$

• A : 흐름 방향의 물체 투영 면적
• 항력계수 $C_{D}={\frac {24}{Re}}$

참고문헌

• 김경호 (2010). 《수리학》. 한티미디어. 492쪽. 
• 임진근 외 (2015). 〈동수역학〉. 《토목기사 필기 과년도 - 수리수문학》. 성안당.