토목기사 요약/응용역학/부정정 구조물

부정정 구조물 장단점

장점

• 연속성 때문에 처짐 크기 작아짐.(15-3 / 철콘 14-1)

단점

• 지점침하로 인한 응력(15-3)

해석 방법

13-3

• 응력법(force method, 유연도법(flexibility method), 적합법) : 반력이나 내력을 미지수로 두고 풀이.
  • 변위일치법, 3연 모멘트법
• 변위법(강성도법, stiffness method) : 처짐각과 같은 변위를 미지수로 두고 풀이.
  • 처짐각법, 모멘트분배법

참고 자료

• 전찬기 외 (2015). 《토목기사 필기 응용역학》. 성안당. 
• Jack C. McCormac. 《구조해석》 4판. 동화기술. 322쪽. 

변위 일치법

♣♣♣ 14-3

원 구조물에서 여분의 지점 반력이나 응력을 부정정력(과잉력)으로 간주하여 그것을 제거하고 정정 구조물인 기본구조(primary structure, 또는 이완구조(released structure))로 변환시킨 뒤, 처짐이나 처짐각을 이용해 부정정력 계산.

적합방정식을 통해 푼 반력값이 -라는 것은 단위하중에 반대되는 방향이라는 의미.

---

07-2, 10-3, 13-3, 14-1, 14-2, 20-1+2

X = V_B로 부정정력을 선택, 기본구조를 그리면

적합조건식은

$\Delta _{B}+V_{B}\Delta _{bb}=0$

$\therefore V_{B}=-{\frac {\Delta _{B}}{\Delta _{bb}}}$

수정처짐각 방정식으로도 풀이 가능.

3연 모멘트법

11-1, 16-1 계산문제

연속 구조물을 지간별로 분리, 내부 힘 모멘트를 부정정력으로 보고 푼다.

$M_{1}{\frac {l_{1}}{I_{1}}}+2M_{2}\left({\frac {l_{1}}{I_{1}}}+{\frac {l_{2}}{I_{2}}}\right)+M_{3}{\frac {l_{2}}{I_{2}}}=6E(\theta _{21}-\theta _{23}){\color {blue}+6E(\beta _{1}-\beta _{2})}$

처짐각은 단순보에서 처짐공식 암기한 값 쓰면 됨.

파랑 부분은 지점 부등침하가 있는 경우에만 씀. 토목기사 시험에선 두 항 중 하나만 출제.

암기

♣♣♣12-3, 17-2, 19-3

변위일치법으로 풀어도 별로 안 걸리니 못 외웠을 땐 그냥 구해도 됨.

$R_{A}=R_{C}={\frac {3}{8}}wl$

$R_{B}={\frac {5}{4}}wl$

최소일의 원리

카스틸리아노의 제 2정리를 이용.

• 변위일치법과 근본적으로 유사
• 트러스나 합성구조물 해석에 효과적
• 온도변화, 지점침하, 제작오차 등으로 인해 발생하는 응력 해석엔 사용불가 단점.
• 연속보나 골조 해석을 하려면 계산량이 많아 부적합. 오늘날에는 모멘트 분배법 또는 컴퓨터 해석방법을 사용.

14-1, 17-4

변위가 일어나지 않는 점(지점)에서는 ${\frac {\partial U_{i}}{\partial P_{j}}}=\delta _{j}=0$ (또는 고정 지점에서 $\theta _{j}=0$)이 되므로 ${\frac {\partial U_{i}}{\partial P_{j}}}=0,\quad {\frac {\partial U_{i}}{\partial M_{j}}}=0$

처짐각법

절점에 모인 부재들은 강결로 가정.(13-3)

♣♣

순서

1. 고정단모멘트(또는 하중항) 강비 계산
2. 처짐각방정식
3. 절점 평형 방정식
4. 재단 모멘트 계산
5. 지점 반력 계산

고정단 모멘트

시계방향을 +로 함

(16-2, 17-2, 19-1)

$a=b={\frac {L}{2}}$이면

${\frac {PL}{8}}$

처짐각 방정식

♣♣ 15-2, 17-4

$M_{i}=FEM_{i}+{\frac {2EI}{L}}\left(2\theta _{i}+\theta _{j}-3{\frac {\Delta }{L}}\right)$

$M_{j}=FEM_{j}+{\frac {2EI}{L}}\left(\theta _{i}+2\theta _{j}-3{\frac {\Delta }{L}}\right)$

수정처짐각 방정식 15-3, 16-4

$M_{i}=FEM_{i}+{\frac {{\color {red}3}EI}{L}}\left(\theta _{i}-{\color {red}{\frac {\Delta }{L}}}\right)$

$M_{j}=0$

• 주의 : 이 경우엔 j점이 힌지이기 때문에 M_j = 0임을 알기 때문에 최종적으로 힌지점에서 모멘트가 0인 구조를 조합해서 만들어주는 것이지만, 모멘트가 0이 아닌 힌지점에 대해 수정 처짐각 방정식을 쓰려 한다면 최종적으로 더해서 나오는 모멘트는 0으로 하면 안 된다! 그땐 기본 고정단 모멘트 형태에서 더해주는 고정단-힌지 구조의 힌지점 모멘트가, 최종적으로 더했을 때 나오는 힌지점 모멘트가 나오도록 값을 정해줘야 한다.
• 마지막에 처짐각 방정식에 고정단 모멘트 넣을 때 모멘트 방향에 따라 부호 붙여주는 것임! 수정 처짐각 유도하는 단계(그림)에서는 부호 안 붙임.

예시 : 유도하는 단계에선 부호 안 붙이고, 마지막에 처짐각 방정식에 고정단 모멘트로 대입할 때 방향 고려해서 부호 붙여준다. 처짐각 방정식은 연속보 해석에 쓰일 수 있음.

연속보 일부 수정 처짐각방정식 적용 예

---

13-2 그냥 처짐각 구하는 데 처짐각 방정식 쓰는 문제

A점의 처짐각은? 휨강성은 EI

---

수정 처짐각 방정식 말고 일반 처짐각 방정식을 쓴다.

${\begin{aligned}M_{AB}&=FEM_{AB}+{\frac {2EI}{l}}\left(2\theta _{A}+\theta _{B}-3{\frac {\Delta }{l}}\right)\\&=-{\frac {wl^{2}}{12}}+{\frac {2EI}{l}}\left(2\theta _{A}+0+0\right)=0\\\end{aligned}}$

$\therefore \theta _{A}={\frac {wl^{3}}{48EI}}$

다른 풀이

먼저 반력을 구한다. 암기한 것 써도 되고, 변위일치법(적분 좀 해야 함), 또는 수정 처짐각 방정식으로 구해도 된다.

단순보 등분포 하중 재하되는 경우 처짐각(암기한 값 사용)과, 고정단의 반력모멘트로 인한 처짐각(탄성하중법으로 계산) 두 가지를 구해 합산.

---

87

BA 부재에 휨모멘트가 생기지 않으려면 P의 크기는 얼마여야 하는가?

---

$M_{BA}={\frac {2EI}{60}}\times 2\theta _{B}=0$

${\begin{aligned}M_{BC}&=-900+{\frac {2EI}{60}}\times 2\theta _{B}\\&=-900\\\end{aligned}}$

$\sum M_{B}=0$

$20P-900=0$

$P=45tf$

모멘트 분배법

모멘트 분배법도 참고.

표 만들 때 기억할 것

• FEM 적고 분배로 시작해서 분배로 끝남.
• 가장자리 고정단은 DF = 0, C = 0
• 수정 강도계수를 사용할 때 힌지점과 이어진 절점에서의 C = 0. 힌지점에서는 K도 0이고 다 0
• 전달모멘트는 고정단이 아니면 전달받지 못한다.

♣♣♣ 09-3, 15-3, 16-3, 17-4, 18-1, 19-1, 19-2, 19-3 등등

강도계수(K), 분배율(DF), 전달율(C)

• Strucsource®의 모멘트 분배법 예제

---

97, 16-2, 20-1+2

A 지점이 그림처럼 작은 각 θ만큼 회전하면 생기는 M_A, R_A를 구하시오.

---

$M_{A}={\frac {4EI}{l}}\theta$

전달. $M_{B}={\frac {2EI}{l}}\theta$

$\sum M_{B}=0$

$R_{A}\times L={\frac {4EI}{L}}\theta +{\frac {2EI}{L}}\theta$

$R_{A}={\frac {6EI}{L^{2}}}\theta$

---

01, 16-2

그림에서 B점 연직반력? EI = 일정

---

내민 부분에 의해 생기는 모멘트는 고정단에 절반만큼 전달된다. AB를 놓고 A점에서 모멘트 평형 식을 쓰면 V_B를 계산 가능하다.

$V_{B}=P+{\frac {3Pa}{2l}}$

매트릭스 구조해석

변위법, 강성도법

Stiffness method. 용수철을 생각했을 때 p의 힘을 주면 Δ의 변위가 생긴다고 하자. 이때 둘의 관계를 다음으로 나타낸다.

$p=k\Delta$

k : 단위변위를 발생시키기 위한 힘.(19-1) 강성도, 강성(stiffness)$={\frac {EA}{L}}$(유연도 f의 역수임)

EA : 축강성(Axial rigidity)

부정정 판별

계의 부정정 차수는 M - N 으로 정의되는데, 여기서

• M 은 미지부재력 및 반력의 개수,
• N 은 서로 독립인 평형방정식의 개수이다.

M을 계산하는 방법은 다음과 같다.

M = r + 1m₁ + 2m₂ + 3m₃

r: 지점 반력 수

m₁: 양단 회전 절점 부재의 수

m₂: 일단 고정, 타단 회전 절점 부재의 수

m₃: 양단 고정 절점인 부재의 수

N은 다음과 같이 계산한다.

N = 2P₂ + 3P₃

P₂: 회전 절점수

P₃: 고정 절점수

트러스 간편식

트러스는 부정정 차수를 간편식으로 구할 수 있다.

부정정 차수 = r + m - 2P

r: 반력 수

m: 부재 수

P: 절점 수