로그함수의 극한은 다음과 같이 적용한다.
로그함수가 y = log a x ( a > 0 , a ≠ 1 ) {\displaystyle {y}\mathrm {=} \log {}_{a}{x}{\mathrm {(} }{a}\mathrm {>} {0}{\mathrm {,} }\;{a}\mathrm {\neq } {1}{\mathrm {)} }} 일 때,
( 1 ) lim n → c log a x = log a c ( c > 0 ) ( 2 ) i f a > 1 lim n → ∞ log a x = ∞ , lim n → − ∞ log a x = − ∞ ( 3 ) i f 0 < a < 1 lim n → ∞ log a x = − ∞ , lim n → − ∞ log a x = ∞ {\displaystyle {\begin{aligned}&{{\mathrm {(} }{1}{\mathrm {)} }\;{\underset {{n}\mathrm {\rightarrow } {c}}{\lim }}\log {}_{a}{x}\mathrm {=} \log {}_{a}{c}\;{\mathrm {(} }{c}{\mathrm {>} }{0}{\mathrm {)} }}\\&{\mathrm {(} 2\mathrm {)} {\begin{array}{ll}{{if}\;{a}{\mathrm {>} }{1}}&{}\\{{\underset {{n}\mathrm {\rightarrow } \mathrm {\infty } }{\lim }}\log {}_{a}{x}\mathrm {=} \mathrm {\infty } {\mathrm {,} }\;{\underset {{n}\mathrm {\rightarrow } \mathrm {-} \mathrm {\infty } }{\lim }}\log {}_{a}{x}\mathrm {=} \mathrm {-} \mathrm {\infty } }&{}\end{array}}}\\&{\mathrm {(} 3\mathrm {)} {\begin{array}{ll}{{if}\;{0}{\mathrm {<} }{a}{\mathrm {<} }{1}}&{}\\{{\underset {{n}\mathrm {\rightarrow } \mathrm {\infty } }{\lim }}\log {}_{a}{x}\mathrm {=} \mathrm {-} \mathrm {\infty } {\mathrm {,} }\;{\underset {{n}\mathrm {\rightarrow } \mathrm {-} \mathrm {\infty } }{\lim }}\log {}_{a}{x}\mathrm {=} \mathrm {\infty } }&{}\end{array}}}\end{aligned}}}
일 때,
